95690

Niech funkcje ((t.yi.y>....y.), gdzie I £ i ś n. wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi —l (t y, y₂ y ). gdzie I £ i. j £

*J    *    “

n. będą określone i ciągłe na obszarze D cR"¹. Wtedy dla dowolnego punktu (t₀, y",    y“)e D zagadnienie początkowe

(UW) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na pewnym otoczeniu punktu t,,.

Def. 3.1.6 (rozwiązania ogólne i szczególne układu równań)

Rodzinę funkcji wektorowych

y, (t,C|.C₂

y(t.C,.C₂

X_n) =

y₂(t,C„C₂

C„)

CJ

_y„(t.C_l.C₂.....CJ

zależnych od parametrów rzeczywistych C,. C₂,.... C_n nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (U) jeżeli:

1.    każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem układu.

2.    dla każdego układu warunków początkowych (t₀, y₀). dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać

stałeC|.C₂.....C„ lak.aby y(t.C, ,C₂,...,C_n) = y₀-

Każdą funkcję wektorową otrzymaną z rozwiązania ogólnego układu (U) przy ustalonych wartościach parametrów C,. C₂.....

C„ nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego układu.

Uwaga Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym W praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametrów' Q, C₂. .... C„ można otrzymać rozwiązanie zagadnienia początkowego.

3.2 UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOW YCH LINIOWYCH

Def. 3.2.1 (układ równali różniczkowych liniowych)

Układem równali różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywani)' układ równań postaci

y.’= a..(Oy, + a₁₂(0y₂ + ...+ a_ln(t)y_n + h,(t)

....    y₂’= a₂.(Oy. + a₂₂(t)y₂ +... + a₂„(t)y_n + h₂(t)

, . , , , .

.y«-a_n,(t)y, +a_n2(t)y₂ +...+a_nn(t)y₀ +h„(t)

Uwnga W notacji wektorowej układ równań (UL) przyjmuje postać

y.’		a„(t)	a12(t) .	• ałn(t)	y.		h,(t)
y2'	=	a2,(t)	a.jd) .	• a2o (t)	y2	+	h2(t)
_y»‘.		a„(t)	^a„2 (0 •	• ann(t)	y«_		h„(t)

F    aco    y h<i)

lub krótko

y'= A(t)y + h(t).

Tw. 3.2.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układu (UL))

Niech funkcje a,(t). gdzie i j = 1.2.....n. oraz h,(t). gdzie i = 1. 2.....n, będą ciągłe na przedziale (a.b). Wtedy dla każdego

punktu (t₀, y,°, y₂.....y")e(a,b)x R" zagadnienie początkowe

y/^aj^Oy, + a_l2(t)y₂ +...+ a_ln(t)y_n + h, (I)    y,(t₀)= y,°

y₂'=a_2l(t)y_l +a₂₂(t)y₂ + ...+ a_2n(t)y„ +h₂(t)    y₂(t₀)= y?

_%

y.-a.i(Oy, +a,₂(t)y, + ... + a„(t)y„ +h„(t) [y.(t₀)= y°

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a.b).

3.3 UKŁADY JEDNORODNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH