36 (86)

W6 Całka potrójna

Niech funkcja f: V->9t, gdzie Vc=9ł³ będzie ograniczona.

Dzielimy obszar V na n rozłącznych części Vj (i=1, n) 5j = sup d(P, Q) i polach AVj.

(P,Q)eVj

Zakładamy, że podział obszaru V jest normalny, tzn. max 8j —--> 0 o średnicach

1<i^n    ^n->0°

n

Z każdego Vj wybieramy dowolny punkt Pj(Xj,yj,Zj) i tworzymy sumę całkową: s_n =

i=1

Jeżeli przy dowolnym podziale normalnym obszaru V i przy dowolnym wyborze punktów Pj ciąg (s_n) ma granicę właściwą to granicę tę nazywamy całkąps#S0Ś§»a z funkcji f po obszarze V i oznaczamy symbolem:

j]jf(x,y,z)dxdydz lub krótko JJJ^fdV

V    V

(samą funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w obszarze V).

Interpretacja geometryczna.

Jeżeli f =1 w obszarze V, to całka JJJdxdydz jest równa objętości bryły V.

v

Twierdzenie 1 (o istnieniu całki potrójnej).

Jeżeli funkcja f:    jest ciągła w obszarze domkniętym ty

to f jest całkowalna w tym obszarze.

Uwaga 1.

I

Jeżeli funkcja f: V-»$R jest ograniczona i ciągła w obszarze V c:9r z wyjątkiem punktów leżących na skończonej ilości powierzchni (będących wykresami funkcji ciągłych o postaci z=z(x,y), y=y(x,z) lub x=x(y,z)) leżących w tym obszarze, w których ma nieciągłość I rodzaju, to f jest całkowalna w obszarze V.

Uwaga 2.

Własności całki potrójnej są takie same jak własności całki podwójnej.

36 MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki