P1111269

44 Vm. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Niech teraz m< — 1, a więc m = —fi, ft>l. Zastosujemy tym razem wzór (II)

,    * HRRB , _m+2 _r

12,    -—n--J--—-^,'-l/2,(^m+l)/2 ,

m+l    m+1

skąd

H-

Vl—;

M-l

^-1

Za pomocą tego wzoru możemy zmniejszać wartość fi o 2 i stopniowo sorowadzić obliczenia H albo do

H-

dla n nieparzystego, albo do

H-2 = f-^dx = - y^l—    +C

I x^ai/T^x^r    X

dla fi parzystego.

2) Jeśli do całki (*)

/.« 11 .    . - y |(;. = 1, 2,3,...)

zastosować wzór (I):

I i o.

(a²+z)~"z^1/2 , 2n—1    1

to powracając do /„ otrzymamy znany nam już (271, (6)] wzór redukcyjny

r _    1    AT .    2/t—l .    1 r

^a+l 2/w² * (x²+a²)" 2n ’ a² I'

281. Całkowanie wyrażeń postaci jR(x, V ax²+bx+c). Podstawienia Eulera. Przechodzimy do rozpatrzenia bardzo ważnej klasy całek

(4)    j R (x, j/ax^z+bx+c) dx.

Zakładamy oczywiście, że trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków równych, a więc że jego pierwiastek kwadratowy nie może być zastąpiony wyrażeniem wymiernym. Zapoznamy się z trzema podstawieniami, zwanymi podstawieniami Eulera, za pomocą których! można zawsze sprowadzić do postaci wymiernej wyrażenie podcałkowe.

Pierwsze podstawienie może być zastosowane w przypadku, gdy a > 0. Przyjmujemy] wówczas

|/ax^z+bx+c = t—\/ax (²).

0) Analogicznie można też badać całkę

H |

(²) Można przyjąć również    — i+y ax.

Podnosząc tę równość stronami do kwadratu otrzymujemy po zredukowaniu po obu stronach składników ax² równość bx+c — t^z—2^atx, a więc:

t²—c 2|/at+b

}/ax² + bx+c

]/at² + bt+c ]fa 2]/at+b

11₂^+bt+_ąr_{a dt}

(2 ]/at+by

Cały dowcip podstawienia Eulera polega na tym, że dla wyznaczenia x otrzymujemy równanie pierwszego stopnia, a więc x, a jednocześnie także pierwiastek V ax²+bx+c wyraża się wymiernie przez t.

Jeśli otrzymane wyrażenie podstawimy do wzoru (4), to zadanie sprowadzi się do całkowania funkcji wymiernej zmiennej t. Powracając w wyniku do x, trzeba będzie podstawić t = |/ax²+bx+c+]/ax.

Drugie podstawienie można zastosować, jeśli c > 0. W tym przypadku można przyjąć }/ax²+bx+c = xt+|/e (*).

Jeśli podniesiemy obie strony do kwadratu, zredukujemy po obu stronach c i skrócimy przez x, to otrzymamy ax+b = xt²+2]/ct— znowu równanie stopnia pierwszego względem x. Stąd

x =

2}fat—b a-t* ’

1/ax²+óx+c =

]/ct² — bt+\fc a-t²

dx

₂ ń‘².-liży±° _dt

(a-t²)²

Podstawiając to do wzoru (4), sprowadzimy wyrażenie podcałkowe do postaci wymiernej. Po scałkowaniu podstawimy w wyniku

j/ax² + 6x+c — ]fc x

Uwaga I. Rozpatrzone wyżej przypadki (a > 0 i c > 0) sprowadzają się wzajemnie do siebie przez podstawienie x == 1/z. Dlatego można zawsze uniknąć korzystania z drugiego podstawienia.

Wreszcie trzecie podstawienie może być stosowane w przypadki gdy trójmian kwadratowy ax²+bx+cma dwa różne pierwiastki rzeczywiste Xip. Wówczas trójmian ten, jak wiadomo, rozkłada się na czynniki liniowe

ax^a + 6x+c = a(x—X)(x—p).

O Lub \/ax²+bx+c <= xt—|/c.