26916 P1111263

32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy ułamków (5) zawierają k współczynników, a liczniki grupy ułamków (6) 2m współczynników, przeto na mocy (4) jest ich razem n. Dla wyznaczenia wspomnianych współczynników stosuje się zwykle metodę współczynników nieoznaczonych. Polega ona na tym, że znając kształt rozkładu ułamka P/Q, piszemy go po prawej stronie ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach. Współ-nym mianownikiem wszystkich ułamków prostych jest oczywiście Q, dodając je otrzymujemy ułamek właściwy (*). Jeśli odrzucimy teraz z lewej i z prawej strony równości mianownik Q_y to otrzymamy równość dwóch wielomianów stopnia (/j—1) będącą tożsamością względem x. Współczynnikami przy różnych potęgach wielomianu po prawej stronie będą jednorodne wielomiany liniowe względem n nieoznaczonych współczynników. Przyrównując je do odpowiednich współczynników liczbowych wielomianu P, otrzymujemy wreszcie układ n równań liniowych, z których wyznaczymy współczynniki literowe. Ponieważ możliwość rozkładu na ułamki proste została udowodniona, wspomniany układ nigdy nie może być sprzeczny.

Co więcej, wspomniany układ równań liniowych ma rozwiązanie jakikolwiek będzie zespól wyrazów wolnych współczynników wielomianu P, a zatem wyznacznik tego układu musi być różny od zera. Innymi słowy, układ ten jest zawsze oznaczony. Ta prosta uwaga dowodzi jednocześnie jednoznaczności rozkładu ułamka właściwego na ułamki proste. Objaśnimy to, o czym mówiliśmy, na przykładzie.

2x²-f 2x+13 (x—2) (x²-H)² '

Przykład. Niech będzie dany ułamek rozkład

Na mocy ogólnego twierdzenia ma on

2x²+2x+13 A    ■ Bx+C . Dx+E

(x-2)(x²+l)²    x—2 x²-fl (x²+l)^a |

Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczymy z tożsamości

2x²+2x+13-4 (x²+l)²-M£x-rC)(x² + l) (x-2)+(Dx+£)(x-2) .

Przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach x po lewej i po prawej stronie równości otrzy* snujemy układ pięciu równań

x* 4+/?- 0, x² -2£+C«0, x² 2A+B-2C+D = 2, x* -20+C-2D+E-2, x° 4—2C—2£ — 13 .

Stąd

4-1,    £«-!, C — —2, D --3,    £- -4.

Ostatecznie

2x²-f 2xt-13___1    x+2___3x+4

U-2)(xⁱ+Dⁱ ~ x—2    x²+l    (x²+l)^a I

Stwierdzony powyżej fakt algebraiczny ma bezpośrednie zastosowanie do całkowania funkcji wymiernych. Jak widzieliśmy w ustępie 273, ułamki proste można scałkować w postaci skończonej. Możemy to samo powiedzieć teraz o dowolnym ułamku wymiernym.

(^ł) Suma ułamków wymiernych właściwych jest znowu ułamkiem właściwym.

Jeśli przyjrzeć się tym funkcjom, za pomocą których wyrażają się całki wielomianów i ułamków właściwych, to można sformułować wynik ten dokładniej:

Całka dowolnej funkcji wymiernej wyraża się w postaci skończonej przez funkcję wymierną, logarytm i arcus tangens.

Wracając do rozpatrzonego powyżej przykładu i przypominając sobie wzory z ustępu 273 otrzymujemy

2x*+2x+13

(x-2) (x^a+l)²

/

276. Wydzielenie części wymiernej całki. Istnieje sposób podany przez M. W. Ostro -gradskiego, za pomocą którego obliczanie całki wymiernego ułamka właściwego znacznie się upraszcza. Sposób ten pozwala drogą czysto algebraiczną wydzielić część wymierną całki.

Widzieliśmy [273], że składniki wymierne całki otrzymujemy przy całkowaniu ułamków prostych postaci II i IV. W pierwszym przypadku całkę można napisać od razu.

Zbadajmy teraz, jaką postać ma część wymierna całki

Stosując znane nam już podstawienie x+yP = t wykorzystujemy równości (1), (2) i wzór

redukcyjny (6) z ustępu 271 dla n = m—\. Gdy wrócimy do zmiennej x, otrzymamy

/ (*

Mx+N I    M'x+N'

> . — . _xni- dx =

:²+px+q)^m    (x² +px+q)^m~^l

♦*/

dx

(x²+px+q)^m~ⁱ *

gdzie M', N' i a oznaczają pewne współczynniki stałe. Na mocy tego samego wzoru zastępując m przez m— 1, otrzymujemy dla ostatniej całki (jeśli m > 2)

r_« ax__ M x+N -    _*

J (x²+px+qyⁿ~^l (x²+px+q)^m~² §|    -q)"~^z

itd., dopóki nie sprowadzimy wykładnika potęgi trójmianu x² +px+q w całce po prawej stronie do jedności. Wszystkie wydzielane kolejno wyrazy są ułamkami właściwymi. Łącząc je razem otrzymamy wynik w postaci następującej:

f Mx+N . _ R (x)    , r dx _

* \    J (x²+«px+fl)^M (x²+px+q)^m~^l J x²+px+q *

gdzie R (x) jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik (*), a A jest stałą.

(^l) Patrz odsyłacz na str. 32.

3 Rachunek różniczkowy