P1111275

56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Dla obliczenia całki

56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

I

dx

dx

(ax²+bx+c)^(2m+^1)/2    J y<2*+»

najdogodniej będzie użyć tak zwanego podstawienia Abela

I ^ax+Ł^b

2\/Y    |/ax²+bx+c

Podnosząc do kwadratu i mnożąc przez 4 Y otrzymujemy równość 4t²Y = (Yy = 4a²x²+4abx+b² , którą odejmiemy od pomnożonej przez 4a równości

Y = ax² + bx+c.

W wyniku otrzymujemy

skąd

(10)    Y^m Różniczkując teraz równość

znajdujemy

a więc

(11)

Z (11) i (10) otrzymujemy dx

y(2i

4 (a —f²) Y = 4ac—b² , \*__1_

/ 4ac—ó²

"I^-1-

t    = ax+ T 6

|/y dt + t²dx — a dx , dx _ dt

Ty ” ~a^Zri^T‘

- = (—± -Y

^/2    ^4ac—ó² y

i wreszcie

(12)

Tak więc całe zadanie sprowadza się do obliczenia całki z wielomianu.

W szczególności dla m = 1 otrzymujemy na przykład

r_dx    _    2    2 ax+b

J (ax² + 6x+c)^i/2 “ 4ac-b² \/ax²+bx+e '

(b) W przypadku ogólnym, aby otrzymać wyrażenie bardziej symetryczne, przyjmijmy

ax² + bx+c = a (x²+p^,x+q^r),

przy czym będziemy mogli teraz założyć, że trójmian w nawiasach nie jest identyczny z trój mianem x²+px+q. Postawimy sobie za zadanie tak przekształcić zmienną x, aby w obu trójmianach jednocześnie znikły składniki stopnia pierwszego.

Niech najpierw p # p\ Wtedy możemy osiągnąć cel za pomocą podstawienia ułam-kowo-liniowego

(13)

ut + v ^X 1 t+1

wybieraiac odpowiednio współczynniki /t i v. Będzie

..2 ,    „ _ (p²+pp+q)t² + [2pv+p(p+v)+2q] «+(v²+pv+<j)

x +px+q -    (| _{+ 1)2}

analogicznie dla drugiego trójmianu. Szukane współczynniki wyznaczamy z warunków 2pv+p(p+v)+2q = 0,    2pv+p^,(p+y)+2q' = 0

lub

-2^,

P-P    P~P

Tak więc p i v są pierwiastkami równania kwadratowego

(P“P') z²+2(q-q')z+(p'q-pq') = 0.

Na to by pierwiastki te były rzeczywiste i różne (*) potrzeba i wystarcza, by spełniony był warunek

(q-q')²-(p-p')(p'q-pq') >0.

Przekonamy się, że warunek ten jest spełniony.

Przepiszmy warunek (14) w postaci równoważnej

(14*)    [2(q+q')-pp'¥ > (4q-p²) (4ę'-p°).

Wiadomo, te 4q—p² > 0, gdyż trójmian x²+px+q ma pierwiastki urojone; dlatego nierówność (14*) jest na pewno spełniona, jeśli jednocześnie jest 4q'—p’² < 0. Pozostaje więc

PI Dla u ■■ v podstawienie traci sens, sprowadza się bowiem do x — .u.