0030

32

V1U. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy ułamków (S) zawierają k współczynników, a liczniki grupy ułamków (6) 2m współczynników, przeto na mocy (4) jest ich razem n.

Dla wyznaczenia wspomnianych współczynników stosuje się zwykle metodę współczynników nieoznaczonych. Polega ona na tym, ie znając kształt rozkładu ułamka P/Q, piszemy go po prawej stronie ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach. Wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków prostych jest oczywiście Q, dodając je otrzymujemy ułamek właściwy (*). Jeśli odrzucimy teraz z lewej i z prawej strony równości mianownik Q, to otrzymamy równość dwóch wielomianów stopnia («— 1) będącą tożsamością względem x. Współczynnikami przy różnych potęgach wielomianu po prawej stronie będą jednorodne wielomiany liniowe względem n nieoznaczonych współczynników. Przyrównując je do odpowiednich współczynników liczbowych wielomianu P, otrzymujemy wreszcie układ n równań liniowych, z których wyznaczymy współczynniki literowe. Ponieważ możliwość rozkładu na ułamki proste została udowodniona, wspomniany układ nigdy nie może być sprzeczny.

Co więcej, wspomniany układ równań liniowych ma rozwiązanie jakikolwiek będzie zespół wyrazów wolnych współczynników wielomianu P, a zatem wyznacznik tego układu musi być różny od zera. Innymi słowy, układ ten jest zawsze oznaczony. Ta prosta uwaga dowodzi jednocześnie jednoznaczności rozkładu ułamka właściwego na ułamki proste. Objaśnimy to, o czym mówiliśmy, na przykładzie.

Przykład. Niech będzie dany ułamek rozkład

2jr^ł+2*+13 (*—2)(.r² + l)²

Na mocy ogólnego twierdzenia ma on

2*²+2*+13 A    Bx+C , Dx+Ę_

'(jt-2)(x²+l)^ł    x—2    *²-H    (jr²+l)² '

Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczymy z tożsamości

2.r²-f 2x+13 - A (jc* +1 )² + (Bx+ C) (X¹ + i) (x - 2)+(Dx+E) (x - 2) .

Przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach x po lewej i po prawej stronie równości otrzymujemy układ pięciu równań

	jr^4	A+B~ 0,
	jr»	-2B+C = 0,
	JC^2	2A + B-2C+D = 2,
		— 2B+C—2D+E = 2,
		A — 2C—2E -= 13.
Stąd
Ostatecznie	A = 1, B= -	-1, C--2. D = —3, E =
	2ar^2-t-2ar-t-13 .... 1 x+2 3*+4

(ar— 2) (jr² +1)²    x-2 jt²+l (x²+l)² ‘

Stwierdzony powyżej fakt algebraiczny ma bezpośrednie zastosowanie do całkowania funkcji wymiernych. Jak widzieliśmy w ustępie 273, ułamki proste można scałkować w postaci skończonej. Możemy to samo powiedzieć teraz o dowolnym ułamku wymiernym.

(‘) Suma ułamków wymiernych właściwych jest znowu ułamkiem właściwym.