P1111273

52 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

8) f-g....... .

(jt^ł+fl^ł) j/a²—x²

(a) Ponieważ pierwiastki wyrażenia podcałkowego są rzeczywiste, można więc zastosować trzecie podstawienie }/a²—x² -* t(a—x), tu —a<x<a i t>0. Mamy

x =

a

t²-1

/² + l

dlv--^{401 df}

(/² + l)² *

lat

/²+l *

*²+n² 3 2o*(/⁴-ł-l) (/²+l)² *

f ___L_ 1	r^2,2+2 1 ri	r ^1 , ^1 i
^1 (**+«*)/«*-** §|§ ^	^1 /^4+l 2a^2 J |	L/^a+f/r+i * r^a—/j/r+ij

i    f^arc *8 (' l)+arc tg (/ /2 - 1))+C,

gdzie trzeba podstawić jeszcze: / — ^/(a-f-*)/(o—x), aby otrzymać ostateczny wynik. Korzystając ze wzoru na sumę arkus tangensów i oczywistej tożsamości

aro tg— = -arctg x± (dla « > 0 lub « < 0),

(X    2

można napisać wynik w prostszej postaci

^xy2

2a²^2

¹ arctg    +Ci (gdzie C_t = C+ —£__)

(b) Jeżeli zastosujemy do tej całki drugie podstawienie }/a²—x² = tx—a, to otrzymamy

f-^dx----

^J (x²+a²)\/a²-x²

—~=r larc tg (j/T-f1) /+arc tg (j/T-1) /]+C', a²y2

fl+l/fl*—z¹

gdzie t *=--. Wynik ten jest dobry dla każdego z przedziałów (—a, 0) i (0, a) z osobna. Łatwo

zauważyć, że zmieniając wartość C' przy przejściu przez 0 można wynik ten uczynić przydatnym dla ca* lego przedziału (—a, a). Jeśli przekształcić wreszcie ten wynik według wzoru na sumę arkus tangensów, to pokryje się on z poprzednim wynikiem.

9) /-—, =■ ■ *

Pierwsze podstawienie }/x²+ft ■ /—z daje

f ŚE «2 f_2£dr__{= 2} f_^_.

^    ' /⁴+2 (22-/0/*+/**    ^ «²+2 (2A—/O u-\-fi² '

Tak więc zadanie sprowadza się do obliczenia całki elementarnej. Do otrzymanego wyniku należy pod* stawić

0e+l/x²+ti )*.

284. Inne sposoby obliczania. Chociaż podstawienia Eulera rozwiązują zasadniczo we wszystkich wypadkach zagadnienie obliczania w postaci skończonej całek typu (4), niekiedy jednak przy ich stosowaniu nawet proste różniczki prowadzą do skomplikowanych rachunków. Wobec ważności całek rozpatrywanego typu podamy również inne sposoby ich obliczania.

Wprowadźmy skrócone oznaczenie

Y ax²+bx+c i y = j/lT.

Funkcja wymierna R(x,y) może być zapisana w postaci ilorazu dwóch wielomianów zmiennych x i y. Zastępując y² wszędzie przez Y sprowadzimy R (x, y) do postaci

R(x,y)

P₁(x)+P₂(x) y P₃(x)+P_Ą(x)y ’

gdzie P_t(x) są wielomianami. Mnożąc licznik i mianownik tego ułamka przez wyrażenie P₃(x)-P^(x)y i zastępując znów y² przez Y otrzymujemy nową postać R

R (Xy y) = Ri(x)+R₂(x) y.

Całkę pierwszego składnika po prawej stronie umiemy już wyrazić w postaci skończonej, pozostaje więc zająć się drugim składnikiem. Mnożąc i dzieląc go przez y otrzymujemy ostatecznie wyrażenie

y    yax² + bx+c

Zajmiemy się całkowaniem tego wyrażenia.

Przede wszystkim wydzielimy z funkcji wymiernej R¹(x) część całkowitą P (x)_f a ułamek właściwy wyobrazimy sobie jako rozłożony na ułamki proste [274]. Wówczas całkowanie otrzymanego wyrażenia sprowadzi się do obliczenia całek następujących trzech typów:

_A dx_

(x—a)^k]/ax² + bx+c

ra| f-^Mx+.^N ..dx,

J (x²+px+qy¹yax² + bx+c

gdzie wszystkie współczynniki są rzeczywiste, a pierwiastki trójmianu x² +px + q są urojone. Rozpatrzymy każdy z tych typów oddzielnie.

I. Przyjmijmy

_T/ __ c x^m j r dx

^m a ]/ax¹+6i+c- ¹ " J y/T

Łatwo jest wyprowadzić wzór redukcyjny dla tych całek. W tym celu, zakładając, ta

1

f , ^P(X) dx, J yax²+bx+c