img016

FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA

Jcos;t²dr, J^-dx,    J —1?. fa    (n e N).

Tę samą własność mają też tak zwane całki eliptyczne: f dx    r x²dx

⁽²¹¹⁾    ^(l-x^ł)(l-fl*²)*    ^(l-x²)(l-ax²) ’ g^dzic0<<2<1-

Poniżej poznamy wybrane klasy funkcji, których całki nieoznaczone dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Już teraz anonsujemy, iż należą do nich:

1* wszystkie funkcje wymierne,

V wybrane funkcje niewymierne,

3* wybrane funkcje trygonometryczne.

Przed omówieniem metod całkowania wymienionych trzech klas funkcji zacytujemy jeszcze dwa bardzo ważne twierdzenia, które jak się okaże później, znacznie ułatwią wyznaczanie całek nieoznaczonych wielu różnych funkcji.

Twierdzenie 2.4 (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje rzeczywiste fig mają pochodne w przedziale I c R (tzn /,jec!(/)) oraz iloczyn fg' jest całkowalny w sensie Newtona w przedziale I, to iloczyn f'g jest również całkowalny w sensie Newtona w tym przedziale, przy czym spełniona jest równość:

(2.12)    J f{x)g'{x)dx = f(x)g{x) - J f'{x)g{x)dx.

Wybrane przykłady zastosowania twierdzenia o całkowaniu przez części

2.10 I aresin =

/ = aresin* g' = 1

/' =

g = x

- x aresin*

-J

xdx

S

r = zarcsinjc + a/T- x

a/TI²"

bo    (a/1-*²) = -

2.

x²dx =

f = yfa^7

g' = 1

/' =

•Ja² -; g=*

x² dx

2    ■ X

a aresin— a ’

= xja²-x + f-—.    ^    dx = xja²-x² - [ala²-x²dx +

^{J J}

bo	f . x) 1 aresin— -—== l aj Ja^2-
Stąd	2j Ja^2 - x^2 dx-xjc

16