0010

12

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

III. Jeśli

to

Jf«)dt = F(t) + C, j f(ax + b)dx =-^F (ax+b)+C'.

Rzeczywiście, założona równość jest równoważna z następującą:

F (O = F'(t) =/(f) .

d

dt

Wówczas jednak

dx

F (ax + b) = F'(ax + b) a — af (ax + b) ,

a więc

'lx\ja^F('^{aX + b)} ]    ⁺

tzn. — F(ax+b) jest rzeczywiście funkcją pierwotną funkcji f(ax+b). a

Szczególnie często spotyka się przypadki, gdy a = 1 lub b — 0:

jf(x + b)dx - F(x+b)+C_lt

j f(ax) dx =    F (x) + C₂ .

Reguła III jest bardzo szczególnym przypadkiem reguły zamiany zmiennych w całce nieoznaczonej, o czym będzie mowa daiej [268],

267. Przykłady

1) J(6x²-3x+5)</x.

Korzystając z reguł II i I oraz wzorów 3,2 otrzymujemy

J (6x²—3x+5)dx = j 6x²dx— J 3x dx+ J 5rfx = 6 J x²dx—3 j xdx+S f dx = 2x³— -i x²+5x+C.

2) Łatwo jest też scałkować wielomian w postaci ogólnej

x*^_1+ ... +o.-i x+a_n)dx = a₀fx"dx+a_l J'x"~^ldx+ ... +o„-, J" x </x+o, Jdx =

= -^-x»+*+ ^i-x*+ ... +    -x²+o*x+C.    (11,1:3,2)

n+1    n    2

3) J(2x² + l)Vx = J(8x⁶+12x*+6x² + l)<fx = -|x⁷+^x^s + 2x³ + x+C.    (przykład 2)

4) J(1    )*dx= j(l+4^x+6x+4x j/jT+x²)</x =

= Jrfx+4jx^1,2rfx+6jx</x+4jx^3/Jrfx+ f x*dx =

(II,I;3,2)

= x+-|x³'²+3x²+^x⁵'²+-ł-x³+C.