P1111253

12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

III. Jeśli

to

J f(ax+b) dx *= — F (ax+6)+C'. Rzeczywiście, założona równość jest równoważna z następującą:

-^F(o = no-/(o.

Wówczas jednak

-3— F(tix+6) F'(ax+b)a = af(ax+b) , ax

a więc

(ax+b) =/(ux+6),

dx I a

tzn. F(ax+b) jest rzeczywiście funkcją pierwotną funkcji /(ax+6). a

Szczególnie często spotyka się przypadki, gdy a = I lub 6 = 0:

J f(x+b)dx = F(x+ó)+Ci,

Jf(ax)dx « ~P(x)+C₂.

Reguła III jest bardzo szczególnym przypadkiem reguły zamiany zmiennych w całce nieoznaczonej, o czym będzie mowa dalej [268].

267. Przykłady

I) J (6x*—3x+5) dx.

Korzystając z reguł II i I oraz wzorów 3,2 otrzymujemy

/(6x»-3x+5)d* - /6x²dx— f3xdx+ f 5dx = 6/x²</*-3 jxdx+ifdx = 2x»--|x^a+5x+C.

2) Łatwo jest też scałkować wielomian w postaci ogólnej

/iflo *■-*+ ...+0.-J x+ajdx — a₀f x"dx+a_l $jf-^ldx+ ... +*■"* /* dx+a_m J dx

_ BHH "!-*•+ ... + -gęi-^+^+C-

n+1    n    ²

3) /(2x’+l)*dx - /- j-x⁷+ jx⁹+²xⁱ+x+C.    (przykła

4)    f(l + /x fdx- J(l+4)fx+6x+4x^x+x¹)dx -

au;3.²>

-    jf </x+4 J x^tl2dx+6f x dx+4 / x^2,2dx+ / x²dx -

-    ^4. ix»/*-f3x*+-jX^,/J+yX^, + C.

~-J/xdx+ y fdx- J-y- - Jx-²dx- y**+ y Je—Inx+ Ł _+C.    (1I,I;3,2,4>

€) f    rjęyF-ł^^-

yT    ■*    |/x    ^J

«4^^,3/6-f Je^,#‘+C.    (11.3)

Podamy kilka przykładów na zastosowanie reguły III:

$ (a) J^-=ln|x-a|+C,    (III ;4)

®fni

(x—dfdx

U-df '    '    -*+l

1

--7T-TT7-+ ^C (*>*)•

8)    (a) f sin mx dx —--cos /nx-ł- C (m ^ 0),

^J    m

(b)    f cos mx dx =■ sin n»x+ C (/«    0),

J    ni

(c)    / <r^J\k ₃

9)    (a) /

^a²-x²    °^J

^ł-e-³*+C.

</x

i/‘-W

arcsin—I-C (a>0), a

Cb) f-^---- f

^K * J a²+x² a² J

dx

1 +

(f) °

¹ arctg—+ C. a

(in;3)

(III;8)

(HI;9)

mi;7)

(Hl;6)

011:5)

Przykłady na wszystkie reguły:

(11,111;7,2)

(10) J J£z!}i£!l±H dx - J (e^-^+l-e-*) dx = y e^łx-e*-|-.x+tf-*+C.

dx.

gx-hó

cx-\-d

Dzieląc licznik przez mianownik możemy zapisać wyrażenia podcałkowe w postaci

a j bc—ad .    1

c c cx+d

Stąd szukana całka równa sią

±_x+*£z£L)_n\_cx+d\+C.    (11.1.111:2,4)

c    c¹

(12)    Lfa = r(2x-3+—x*-5x+6ln|x-ł-I| + C,

J x+l    J \    Jc+l/