0062

64

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

^ sin 2x j^2m /1—cos 2xY^l~^w

Jeśli mianowicie v = 2n, p = 2m, to dla v > /t będzie sin²" x cos ^2m x = (sin x cos x)^2m sin ^2(n-m)x = a dla v < fi

/ sin 2x y ” /1+cos 2x \^w~"

sin²" x cos ^2m x = (sin x cos x)²"cos^2<m-,0x =

Po otworzeniu nawiasów otrzymamy sumę składników typu

C sin*' 2x cos"' 2x ,

gdzie v'+fi' < n+m =    . Te składniki, w których choćby jeden z wykładników v',

/t' jest liczbą nieparzystą można scałkować łatwo podanym wyżej sposobem. Z pozostałymi składnikami postępujemy podobnie przechodząc do sin 4x i cos 4x itd. Ponieważ przy każdym takim kroku suma wykładników zmniejsza się co najmniej dwa razy, proces kończy się szybko.

Powróćmy do udowodnionej wyżej zależności (2). Możemy teraz korzystać z wzorów redukcyjnych dla całek dwumiennych [280], ażeby, przyjąwszy

a- 1,    b=-1, p = —₂~    , q =    ₂    ,

wyprowadzić wzory redukcyjne dla całek rozpatrywanego typu.

W ten sposób otrzymujemy następujące wzory (które oczywiście można także wyprowadzić niezależnie):

sin^vx cos" x dx

sin^v+1 x cos"⁺¹ x

ŻH⁷!

+

v + /t + 2 r

A*+l J

sin^v x cos"⁺²x dx

r .    , sin^v+1 x sin"⁺¹ x v+u + 2 r .    . ,    .    ..

(II) I sin^vxcos"xdx = -_:--1--— sin'^,+2x cos" x dx (v ^ — 1).

J    v+l    v+l J

(III) J si

sin^v x cos" x dx =

sin^v+1 x cos"^-1x p— l

V + fl

+ —- f sin” x cos"^-2 x dx (v+/t ^ 0),

v + A< J

(IV) |* sin^v

x cos" x dx = —

sin

^,-1XCOS" ^{+ 1}X V—1

v+/x

V + /i

/“

sin*^-2 x cos" x dx (v+p ^ 0).