0036

38

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Odpowiedź:

2x³—6x^ł+8x—9 (x²-2x+2)²

+łn -1*    +2 arctg (x-1)+ C.

x²-2x+2

S) f X^t-x*+x*+2x³+3x¹+3x+3 ^ ’ J (x+l)¹(x^I+x+l)³

Wydzielając część wymierną całki otrzymujemy

Ci = (x+l)(x²+x+l)², fi₂ = (*+l)(.x²+*+l).

Rozkładu szukamy w postaci

I* ax*+bx³+cx³+dx+e V . fx²+gx+h [ (x+I)(x²+x+l)² J (x+l)(x^J+x+l)

Z układu równań

x*

x³

X^Ą

X³

X²

X¹

x°

/-0,

—a+g = 1, «-24+3y+A = —1, 5a—b—3c+5g+2h = 1, 4a+3ó— 3c—4d+Sg+Sh 36+c—5 d—5e"ł"3p"i"5A = 2c—d—7c-\-gĄ-3h = 3 , d-le+h = 3

-2,

3,

znajdujemy

a—— 1, b = 0, c = —2, d = 0, e=— 1, /= g =h =0.

Tak więc całka sprowadza się tu do funkcji wymiernej

x*—2x^ł-fl (x+l)(x^ł+x+l)²

+C.

§3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

278. Całkowanie wyrażeń postaci R (x, ]/(ax+/?)/(ax+<5)) C¹). Nauczyliśmy się już całkować w postaci skończonej różniczki wymierne. W dalszym ciągu zasadniczym sposobem całkowania różnych klas wyrażeń różniczkowych będzie znalezienie takich podstawień t = co (x), które sprowadzają wyrażenie podcałkowe do postaci wymiernej i umożliwiają przedstawienie całki jako funkcji t w postaci skończonej. Jeśli przy tym sama funkcja oj (x), którą należy podstawić za t, wyraża się przez funkcje elementarne, to całka wyrazi się również jako funkcja x w postaci skończonej.

Sposób ten nazwiemy metodą sprowadzenia wyrażenia podcałkowego do postaci wymiernej.

(*) Umawiamy się raz na zawsze oznaczać literą R funkcję wymierną swoich argumentów.