0064

66

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

wzór redukcyjny (II) J_ f_dx

2 J sin².

1

sin*x cos x

2 sin x

---+T^lnk(T + T)l+^c-

2 J cosx 2sinx 2    | \2    4/J

/dx

ę_0ss_x • Można tu zastosować podstawienie t — sin x, ale łatwiej jest zastosować dwukrotnie

wzór redukcyjny (I):

J

dx sin x |__3_ C dx

cos⁵x 4cos²x 4 J cos³x ’ z kolei

f-T—T^ + Tf—--+    +

J cos³x 2cos^zx 2 J cosx 2cos²x 2    | \2    4/|

a więc

sin x | 3 sin cos^sx 4 cos*x 8 cos

r dx

J cos⁵,

!Df ₊ 4ln|tg(^ + ^)|

os²x 8    |    \ 2    4/|

+C.

/C0S⁴X

sin*x

redukcyjnych (II) i (III):

■ 3—dx. Można zastosować podstawienie t = cosx, ale prościej jest skorzystać z wzorów

ę cos*x .    cos^łx    3 f cos*x j

J sin³x    2sin²x    2 J sin x

f ^cos x dx =—cos³x+ f ^cos--- dx = — cos³x+cos x-(-ln J sin x 3    J sin x 3

sin x    3    J sin x

skąd po upraszczających przekształceniach

tg-

■+C >

/cos*. sin³.

'* dx---£^L.-cosx-4-ln

8) f-

J SI

dx

“T

+c.

2 sin²x '    2

Podstawienie t « cos x daje

sin*x

*

J sir

sinx(2cos²x—1)

f___f_*__

J sin x (2 cos²x— 1) J (I-/²)(l-2r²)

= _^,_n(i±£ig ₊ ±_taJL=£.H.c—i^ln

]/l    |l-ry/2 |    ²    *+^ł yT

sin x cos 2x

i+yTc

1 — ^2 cos x

+ln

+ C.

dx. Ponieważ przy zmianie znaków sin x i cos x wyrażenie podcałkowe nie

„ T sin²x cos x ' J sinx+cosx zmienia się, można tu zastosować podstawienie t — tg x:

f-=

J SI

sin⁴ x cos x

sin x+cos x

dx‘<

i

t² dt

(1 + /)(1+/²)²

1+/

l+i²

+ C =

r n _J___1 . r-ł    . 1    . t-1 1    .    1    _ln 1 +/ i

J L4 ' /+!    4    /²+l    2    (t² + l)²J 4    4

— ln |sin x+cos x|—— cos x (sin x+cos x)+ C.

4    4