0068

70

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Te wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić interesujące nas całki do przypadku

n = 0.

Jeśli przez P (...) nadal oznaczamy wielomian, to jako ostateczny wynik otrzymujemy twierdzenie, że w postaci skończonej można obliczyć całki postaci

J P(x, e^a'^x, e^a"^x.....sin b'x, sin b"x.....cos b'x, cos b"x ,...) dx,

gdzie a', a", b' b", ... są stałymi.

Sprowadza się to do całkowania wyrażenia

xV*sin*' b'x sin*" b"x ... cos"¹' b'x ...

Jeśli skorzystamy z elementarnych wzorów trygonometrycznych

. ,,    1—cos2ńx

sin b'x sin b” x = y[cos(ń' — b")x — cos(ń' + ń'')x]

i podobnych, to łatwo możemy rozbić rozpatrywane wyrażenia na składniki postaci Axⁿe^axsin bx i Bxⁿe^axcos bx, z którymi umiemy sobie już poradzić.

§ 5. Całki eliptyczne

290. Uwagi ogólne i definicje. Rozpatrzmy całkę postaci

(1)    R (x, y) dx ,

gdzie y jest funkcją algebraiczną zmiennej x, tzn. [205] spełnia równanie

(2)    P(x,y) = 0,

gdzie P jest wielomianem względem zmiennych x i y. Całki tego rodzaju otrzymały nazwę całek Abela. Należą do nich całki

J R ^x, ~p/    ^ d^x>    J* R (x, l/ax² + bx-ł-c )dx,

zbadane w § 3.

Rzeczywiście, funkcje

"/a x + 8    z—5—r-

^{y =} Vl^+ó’ y = v^ax +^bx+c

spełniają odpowiednio równania algebraiczne

(yx+<5) y^m—(ax+P) = 0 i y²—(ax² + bx — c) = 0 .