0024

26

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Otrzymany wzór sprowadza obliczenie całki S„+i do obliczenia całki /„ ze wskaźnikiem o jeden mniejszym. Znając całkę

Ji — — arctg — a    a

[267,9) (b); bierzemy jedną z jej wartości] znajdziemy według tego wzoru dla n = 1

*-2?"

co otrzymaliśmy wyżej inną drogą [p. 269.8)]. Biorąc we wzorze (6) n = 2 otrzymujemy następnie

_ . _ 1 _ x__,    3 _ x ,    3    x_

¹    4 a²    (*² + a²)²    8o⁴ x² + a* 8o^s    a

1

4 a²    (jr²-fa²)²    4a²

itd. W ten sposób można obliczyć całkę /„ dla dowolnego n naturalnego.

§ 2. Całkowanie funkcji wymiernych

272. Sformułowanie zagadnienia o całkowaniu w postaci skończonej. Zapoznaliśmy się z elementarnymi sposobami obliczania całek nieoznaczonych. Sposoby te nie wyznaczają dokładnie drogi, po której należy pójść, aby obliczyć daną całkę, pozostawiając wiele umiejętnościom obliczającego. W tym i następnych paragrafach zatrzymamy się dokładniej na pewnych ważnych klasach funkcji i dla ich całek ustalimy zupełnie określony schemat obliczeń.

Wyjaśnimy obecnie, co mianowicie będzie nas interesowało przy całkowaniu funkcji wspomnianych klas i na jakiej zasadzie wyróżniamy te właśnie klasy.

W ustępie 51 scharakteryzowaliśmy zbiór tych funkcji do których w pierwszym rzędzie stosuje się analiza. Są to tak zwane funkcje elementarne i funkcje, które mogą być wyrażone przez nie za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i superpozycji bez stosowania przejścia do granicy.

W rozdziale III widzieliśmy, że wszystkie takie funkcje są różniczkowalne i ich pochodne należą do tego samego zbioru. Inaczej ma się sprawa z ich całkami; bardzo często okazuje się, że całka funkcji należącej do wspomnianej klasy, sama do tej klasy nie należy, tzn. nie wyraża się przez funkcje elementarne za pomocą skończonej liczby wymienionych wyżej operacji. Do takich całek, na pewno nie wyrażających się w postaci skończonej, należą na przykład całki

J e~*² dx ,    J sin x² dx, J cos x²dx ,

/sin x , r cos x , r dx

—¹"*•    J — *■ Jsnr-

inne przykłady tego rodzaju będą przytoczone dalej [ustępy 280, 289, 290 i następnej.