P1111270

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Przyjmijmy

) /ax² + bx+c =

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy po skróceniu przez x—A równanie piersi wszego stopnia a (x—p) = t²(x—A), a więc

itd.

Uwaga II. Przy przyjętych założeniach pierwiastek j/a(x—X)(x—p) (powiedzmy, & x > A) można sprowadzić do postaci

a więc w rozpatrywanym przypadku

i w gruncie rzeczy mamy do czynienia z różniczką typu zbadanego w ustępie 278. Trzecie podstawienie Eulera, które można napisać w postaci

pokrywa się z podstawieniem podanym w ustępie 278.

Wykażemy teraz, że pierwsze i trzecie podstawienie Eulera wystarczają do sprowadzenia wyrażenia podcałkowego (4) do postaci wymiernej we wszystkich możliwych wypadkach. Rzeczywiście, jeśli trójmian ax²+bx+c ma pierwiastki rzeczywiste, to jak widzieliśmy może być zastosowane podstawienie trzecie. Jeśli natomiast nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b²—4ac < 0, to trójmian

ax² + bx + c = -ą— [(2nx-t-ó²)+(4ac —ó²)]

ma dla wszystkich wartości x znak współczynnika a. Przypadek gdy a < 0, nie interesuje nas, wówczas bowiem pierwiastek w ogóle nie ma wartości rzeczywistych. W przypadku gdy a > 0 można zastosować podstawienie pierwsze.

Rozważania te prowadzą jednocześnie do ogólnego twierdzenia:

Całki postaci (4) można zawsze obliczyć w postaci skończonej, przy czym dla ich przed* stawienia potrzebne są jeszcze — oprócz funkcji, przez które wyrażają się całki różniczek wymiernych — pierwiastki kwadratowe.

282. Geometryczna interpretacja podstawień Eulera. Podstawienia Eulera, pozornie tak bardzo sztuczne, mogą być jednak otrzymane z poglądowych rozważań geometrycznych.

Rozpatrzmy krzywą drugiego stopnia

y = ± i/ax²+bx+c    lub    y² =s ax² + bx+c.

Jeśli weźmiemy na tej krzywej dowolny punkt (x₀, y_Q), tak że będzie (5)    y₀ = axo+ńx₀+c.

to przechodząca przez ten punkt sieczna y—y₀ = t (x-x₀) przetnie krzywą jeszcze w jednym tylko punkcie (x, y). Współrzędne tego punktu znajdziemy prostym rachunkiem. Eliminując y z równania krzywej i równania siecznej otrzymujemy

Oo+K*-*o)]^a " <*x² + bx+c,

skąd uwzględniając (5) otrzymujemy

2y₀ t(x-x₀)+t²(x-x_ó)² = a (x²-Xo)+b(x-x₀)

lub, po uproszczeniu przez x—x_0t

2y₀ t+t²(x—x₀) = a (x+x₀)+b.

Tak więc odcięta x, a wraz z nią rzędna y, drugiego punktu przecięcia są funkcjami wymiernymi zmiennego współczynnika kątowego t. Zmieniając odpowiednio t można oczywiście zmusić punkt (x, y) do obiegnięcia całej krzywej.

Jasne jest teraz, że zależność

|/ax²+bx+c -y₀ = t(x—x₀)

wyznacza to podstawienie, które na pewno sprowadza do postaci wymiernej wyrażenie podcałkowe w (4).

Niech trójmian ax²+bx+c ma pierwiastki rzeczywiste X i p; oznacza to, że nasza krzywa przecina oś x w punktach (A, 0) i (/*, 0). Biorąc na przykład pierwszy z nich za punkt (x_0ty₀) otrzymamy trzecie podstawienie Eulera:

|/ax² + bx+c - t(x -Ę .

Jeśli c > 0, to krzywa przecina oś y w punktach (0, ± y/c" )• Biorąc jeden z nich jako punkt (x₀,j’o) otrzymamy drugie podstawienie Eulera:

}/ax²+bx+c ±)fc — tx.

Wreszcie pierwsze podstawienie Eulera otrzymujemy w gruncie rzeczy w ten sam sposób z tym, że jako punkt (x₀, y₀) przyjmujemy punkt w nieskończoności na krzywej. Zakładając mianowicie, że a > 0 (w tym przypadku krzywa będzie hiperbolą) rozpatrzmy asymptotę krzywej y = ±j/axi przetnijmy krzywą prostymi y = t ±y u* równoległymi do asymptoty (będą one przechodziły przez wspomniany punkt w nieskończone-