0044

46

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Przyjmijmy

j/ ax² + bx + c = t(x — k).

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy po skróceniu przez x—k równanie pierwszego stopnia a(x—fi) = t²(x—k), a więc

x =

— afi + kt^: t²—a

\^/ax^2jrbx + c =

a (k-fi) t

dx

2a (fx — k) t (t²-a)²

dt

itd.

Uwaga II. Przy przyjętych założeniach pierwiastek ]/a (x—A) (x—p) (powiedzmy, że jc > A) można sprowadzić do postaci

x—k

(x-A)|/a^- , a więc w rozpatrywanym przypadku

R(x, \/ax² + bx + c) = Ri^x, -yj

i w gruncie rzeczy mamy do czynienia z różniczką typu zbadanego w ustępie 278. Trzecie podstawienie Eulera, które można napisać w postaci

-Y‘

X — fi X — k

pokrywa się z podstawieniem podanym w ustępie 278.

Wykażemy teraz, że pierwsze i trzecie podstawienie Eulera wystarczają do sprowadzenia wyrażenia podcałkowego (4) do postaci wymiernej we wszystkich możliwych wypadkach. Rzeczywiście, jeśli trójmian ax²+bx+c ma pierwiastki rzeczywiste, to jak widzieliśmy może być zastosowane podstawienie trzecie. Jeśli natomiast nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b²—4ac < 0, to trójmian

ax² + bx + c = -^-[(2ax + fc²)+(4ac-Z>²)]

ma dla wszystkich wartości x znak współczynnika a. Przypadek gdy a < 0, nie interesuje nas, wówczas bowiem pierwiastek w ogóle nie ma wartości rzeczywistych. W przypadku gdy a > 0 można zastosować podstawienie pierwsze.

Rozważania te prowadzą jednocześnie do ogólnego twierdzenia:

Całki postaci (4) można zawsze obliczyć w postaci skończonej, przy czym dla ich przedstawienia potrzebne są jeszcze — oprócz funkcji, przez które wyrażają się całki różniczek wymiernych — pierwiastki kwadratowe.