0020

0020



22


VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Przyjmijmy yx2+» — t—x\weźmy t jako nową zmienną. Podnosząc obustronnie do kwadratu i redukując X1 otrzymamy

t* — <x 2t

a więc

dx=-£^dt.


it


21


212


Ostatecznie

(13) /-


dx


f fix------; r^L = Jn |r| + C = ln \x + ^x2 + tx\ + C

J J >

(a < X < ff).


[por. 9]


|/(x-a)0»-x)

Podstawmy x — acos2ę>+/?sin29? (0<<p< gdzie <p jest nową zmienną. Wówczas x— « = (fi—ot) sin2 <p, fi—x = (fi—a) cos2y, dx — 2 (fi—<x) sin <p cos <p dq>.

Tak więc

dx


/


V(x-») <fi-x)


2 jdtp = 2p+C = 2 arc tg |/— +C.


270. Całkowanie przez części. Niech u=f(x) i v = g (x) będą funkcjami x mającymi ciągłe pochodne u' = f'(x) i v' = g'(x). Wówczas na mocy reguł różniczkowania d(uv) = = udv+vdu lub udv — d(uv)-vdu. Funkcją pierwotną wyrażenia d(uv) będzie oczywiście uv, zachodzi więc wzór

(3)    f udv == uv— J v du .

Wzór ten wyraża regułę całkowania przez części. Sprowadza on całkowanie wyrażenia udv = uv'dx do całkowania wyrażenia v du = vu'dx.

Obliczmy na przykład całkę x cos x dx. Przyjmujemy

u = x, dv = cos x dx, a więc du = dx, v sin x (*). na mocy wzoru (3) jest

(4) J x cos xdx = J


x d sin x = x sin x— j sin x dx = x sin x+cos x+C .

Tak więc całkowanie przez części pozwoliło nam zastąpić skomplikowaną funkcję podcałkową x cos x przez prostszą funkcję sin x. Jednocześnie, aby otrzymać v, trzeba było scałkować wyrażenie cos x dx. Stąd bierze się nazwa całkowanie przez części.

Stosując wzór (3) do obliczania danej całki, musimy rozbić wyrażenie podcałkowe na dwa czynniki u i do = v'dx, z których pierwszy różniczkujemy, a drugi całkujemy przy przejściu do całki znajdującej się po prawej stronie. Należy się postarać o to, aby całkowanie różniczki dv nie sprawiało trudności i aby zamiana u na du i do na d prowadziła

(1) Ponieważ cel, do którego dążymy może być osiągnięty, gdy potrafimy przedstawić cosxdx w postaci do choćby na jeden sposób, nie ma potrzeby pisać dla v najogólniejszego wyrażenia zawierającego stałą dowolną. Należy o tym pamiętać dalej.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
P1111258 22 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przyjmijmy y x2+oc — dukując otrzymamy /—jv
46 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przyjmijmy j/ ax2 + bx + c = t(x — k). Podnosząc obi
P1111270 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przyjmijmy ) /ax2 + bx+c = Podnosząc obie stro
42 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) 3) f d*---- f x-‘(l+xs)-,/3dx. xy^l+x’ 1
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy

więcej podobnych podstron