0048

50

(6¹)

a dla a<O (7¹)

/

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

dx

]/ax²+bx+c j/o"

^7 ln \2ax+b+2 ^a (ax²-f ójc+c) | + C =

=-j.— \n\axĄ-\b+]/a(ax²+bx-\-c) |+C', y a    ^2    1

/

dx

}/ax²+bx+c

V\°\

¹ arc sin ^2a1+⁶    + C.

~^b² — 4ac

6) Zajmiemy się teraz podstawieniami Eulera. W ustępie 269, 12) zastosowaliśmy właściwie pierwsze podstawienie do obliczenia całki

dx

J

Chociaż drugą całkę podstawową

/

j/Pia⁵

dx

|fa²

znamy już z rozważań elementarnych, jednak jako ćwiczenie zastosujemy do niej podstawienie Eulera, (a) Jeśli zastosujemy najpierw trzecie podstawienie ]/a²—x² = t (a—x), to otrzymamy

/² + l ’

dx =

Aat dt

('² + U² ’

\/a² — x² =

2 at

/² + l

f- ^dx =2    = 2arctgf+C = 2 arc tg t/-^ +C.

* da²-x^{2 3} 1² + l    \ a-x

Ponieważ zachodzi tożsamość 2 arc tg

l/^ =

Y a—x

(—a < x < a) ,

więc wynik ten różni się tylko kształtem od znanego nam już wyniku.

Czytelnik powinien dalej też liczyć się z możliwością otrzymywania różnych form tej samej całki w zależności od metody zastosowanej do jei obliczania.

(b) Jeśli zastosujemy do tej całki drugie podstawienie |/a²— x² = xt—a, otrzymamy analogicznie

j—p=== = -2 f—

³ ita²-x²    3 t

dt

+ 1

—2 arc tg t4-C = — 2 arc tg

a-1-

■+c.

Napotykamy tu inną ciekawą osobliwość ('): wynik ten jest poprawny osobno dla przedziału (—a, 0) i osobno dla przedziału (0, a), w punkcie x — 0 bowiem wyrażenie

— 2arc tg

a+l/o²—x²

pozbawione jest sensu. Granice tego wyrażenia przy ¹-►—0 i przy x-»-+0 są różne, równają się one odpowiednio 7r i — jr. Wybierając dla wspomnianych przedziałów różne wartości stałjej C tak, by druga wartość była większa od pierwszej o 2¹, możemy zestawić funkcję ciągłą w całym przedziale (—o, o), jeśli przyjąć jako jej wartość dla x = 0 wspólną granicę lewostronną i prawostronną.

1

Por. na przykład [3) 277].