0050

52

8)/

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

dx (*²+«²) ]/a¹—x¹

(a) Ponieważ pierwiastki wyrażenia podcałkowego są rzeczywiste, można więc zastosować trzecie podstawienie J/a²—x² = t(a—x), tu —a<x<a i t>0. Mamy

x = a

t²-l

dx =

4atdt

2at

r²+l    (i²+l)² ’ ^r" ~ r²+l

*²+a² = 2*£±*L,

(/^J+D²

c_4*__-1— r iil±l dt- — r r_-_+_!_1 * =

J (x²+a²)'/a²—x^{2    2}a² J t*+1    2a² J [_ti_+l^2+i r²-/yT+lJ

~ a²/! ^^3rC 18 ^ *)+^arc ‘8 (^f /2 - >)] + f,

gdzie trzeba podstawić jeszcze: t = j/(a+jc)/(a—.v), aby otrzymać ostateczny wynik. Korzystając ze wzoru na sumę arkus tangensów i oczywistej tożsamości

arc tg — = —arc tg    — n (dla <x > 0 łub x < 0),

ot    2

można napisać wynik w prostszej postaci

¹    - arc tg—*£Ł_

²|/2

^a²—x

+C, (gdzie Ci = C+

2«²|/2

=■)

—[arc tg (pT+ł) t+arc tg (|/T-1) f]+C', a²]/!

(b) Jeżeli zastosujemy do tej całki drugie podstawienie ]/a²—x² - tx—a, to otrzymamy f    dx

(x²+a²)]/a²—x²

* i

_gd^, ₌ £±]£E*L.

Wynik ten jest dobry dla każdego z przedziałów (.—a, 0) i (0, a) z osobna. Łatwo

zauważyć, że zmieniając wartość C' przy przejściu przez 0 można wynik ten uczynić przydatnym dla całego przedziału (—a, a). Jeśli przekształcić wreszcie ten wynik według wzoru na sumę arkus tangensów, to pokryje się on z poprzednim wynikiem.

9)}

dx

(*²+A) )/x²+p Pierwsze podstawienie ]/x²+p = t-x daje

;

dx

(**+A) yW/*

-=2 f    *dt    = 2

:*+/»    /*+2 (2A-u)/²+u² J «

«²+2(2A-,0«+(*^a

Tak więc zadanie sprowadza się do obliczenia całki elementarnej. Do otrzymanego wyniku należy podstawić

u = t² = (,x+^x²+u )².