P1111267

P1111267



40

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

wówczas

*+l

1


dx

AT-f-1


" | Ht:- /1- 7=T+TĆ&r) -


279. Całkowanie różniczek dwumiennych. Przykłady. Różniczkami dwumiennymi nazywają się wyrażenia postaci

x”'(a + bxn)p dx ,

gdzie a, b> są stałe, a wykładniki m, w, p są liczbami wymiernymi. Wyjaśnimy, w jakich wypadkach wyrażenia te można scałkować w postaci skończonej.

Jeden z takich przypadków jest widoczny od razu: jeśli p jest liczbą całkowitą (do* datnią, zerem lub ujemną), to rozpatrywane wyrażenie należy do typu zbadanego w poprzednim ustępie. Jeśli oznaczymy mianowicie przez X najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników ułamków m i n, to będziemy mieli do czynienia z wyrażeniem postaci

R(Vi)dx, a więc dla sprowadzenia go do postaci wymiernej wystarczy podstawić t — ]/x. Przekształćmy teraz dane wyrażenie za pomocą podstawienia z — x". Otrzymamy

1    M+l j

xm(a + bxn)p dx —(a + bz)p z n dz .

Oznaczając krótko

m + 1


-1 = q

mamy

(2)


J' xm(a + bx")pdx = — J' (a + bz)pzqdz .

Jeśli q jest liczbą całkowitą, to otrzymamy znów wyrażenie zbadanego już typu. Rzeczywiście, jeśli oznaczymy mianownik ułamka p przez v, to wyrażenie przekształcone będzie miało postać R (z, ya+bz). Sprowadzenie do postaci wymiernej wyrażenia podcałkowego można też osiągnąć od razu przez podstawienie

t = ]/a + bz = ]/a + bxn .

Przepiszmy wreszcie drugą z całek (2) tak:

■Ł . ^ B8|

Łatwo dostrzec, że jeżeli p+q jest całkowite, to otrzymamy także przypadek zbadany: wyrażenie przekształcone ma postać r(z,    + bz Y Wyrażenie podcałkowe

w danej całce sprowadza się od razu do postaci wymiernej przez podstawienie:

' / a+bz    v,--—r

«= y —j— = yW+i.

Tak więc obie całki (2) mogą być wyrażone w postaci skończonej, jeśli jedna z liczb

py Qy P+a

lubco na to samo wychodzijedna z liczb

m+1    m+1 .

p, -,    -+p

n    n

jest całkowita.

Te przypadki całkowalności znał właściwie już Newton. Jednak dopiero w połowie zeszłego wieku Czebyszew stwierdził ważny fakt, że nie ma innych przypadków całkowalności w postaci skończonej różniczek dwumiennych.

Przykłady.

3

V*

Tutąj m — —j*, np — Ponieważ

m+1


-T+1

4


2,


mamy więc drugi przypadek całkowalności. Biorąc pod uwagę, że v = 3, podstawmy w myśl ogólnej reguły

/ = Vl+\/7t x = (/*-1)4, dx - 12/a(/s—1)* d/,

wówczas

itd.


f    = 12 f (t6—t3)dt = -§■ /4(4/3—-7)+ C

J yx    J    1

2) f ——— = f x0(l+x*)-l'*dx.

J VTT* J

m+1


Tym razem m = 0, n = 4, p = ——. Trzeci przypadek całkowalności, ponieważ--h?

4    n

~    ~ = 0. Tutaj v = 4. Podstawmy

t = Vx-*+\ -    x-(i4-!)-«♦,    --fa(f4-l)-*'\fr,

x

a więc

V'l+X4 — /X - / (/*—1)-|/4,

C t2dt

-1 r

( i i \dt i i

f* 1 in|/+1 I

J t*-l

4 J

li+i /-ijA 2J

1 fa+l 4 |l-l 1

itd.

)/\+x*


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
40 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) wówczas gdzie t = V dx *+l -3 dt f2-l = _Lln
50734 P1111276 58 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) zbadać przypadek, gdy również 4q — p
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy
P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax+6)+C

więcej podobnych podstron