40

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

wówczas

*+l

1

279. Całkowanie różniczek dwumiennych. Przykłady. Różniczkami dwumiennymi nazywają się wyrażenia postaci

x”'(a + bxⁿ)^p dx ,

gdzie a, b> są stałe, a wykładniki m, w, p są liczbami wymiernymi. Wyjaśnimy, w jakich wypadkach wyrażenia te można scałkować w postaci skończonej.

Jeden z takich przypadków jest widoczny od razu: jeśli p jest liczbą całkowitą (do* datnią, zerem lub ujemną), to rozpatrywane wyrażenie należy do typu zbadanego w poprzednim ustępie. Jeśli oznaczymy mianowicie przez X najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników ułamków m i n, to będziemy mieli do czynienia z wyrażeniem postaci

R(Vi)dx, a więc dla sprowadzenia go do postaci wymiernej wystarczy podstawić t — ]/x. Przekształćmy teraz dane wyrażenie za pomocą podstawienia z — x". Otrzymamy

1    M+l j

x^m(a + bxⁿ)^p dx — — (a + bz)^p z ⁿ dz .

Oznaczając krótko

-1 = q

J' x^m(a + bx")^pdx = — J' (a + bz)^pz^qdz .

Jeśli q jest liczbą całkowitą, to otrzymamy znów wyrażenie zbadanego już typu. Rzeczywiście, jeśli oznaczymy mianownik ułamka p przez v, to wyrażenie przekształcone będzie miało postać R (z, ya+bz). Sprowadzenie do postaci wymiernej wyrażenia podcałkowego można też osiągnąć od razu przez podstawienie

t = ]/a + bz = ]/a + bxⁿ .

Przepiszmy wreszcie drugą z całek (2) tak:

■Ł . ^ B8|

Łatwo dostrzec, że jeżeli p+q jest całkowite, to otrzymamy także przypadek zbadany: wyrażenie przekształcone ma postać r(z,    ⁺ bz Y Wyrażenie podcałkowe

w danej całce sprowadza się od razu do postaci wymiernej przez podstawienie:

' / a+bz    v,--—r

«= y —j— = yW+i.

Tak więc obie całki (2) mogą być wyrażone w postaci skończonej, jeśli jedna z liczb

py Qy P+a

lub — co na to samo wychodzi — jedna z liczb

m+1    m+1 .

p, -,    -+p

n    n

jest całkowita.

Te przypadki całkowalności znał właściwie już Newton. Jednak dopiero w połowie zeszłego wieku Czebyszew stwierdził ważny fakt, że nie ma innych przypadków całkowalności w postaci skończonej różniczek dwumiennych.

Przykłady.

3

V*

Tutąj m — —j*, n — p — Ponieważ

mamy więc drugi przypadek całkowalności. Biorąc pod uwagę, że v = 3, podstawmy w myśl ogólnej reguły

/ = Vl+\/7_t x = (/*-1)⁴, dx - 12/^a(/^s—1)* d/,

wówczas

f    ₌ 12 f (t⁶—t³)dt = -§■ /⁴(4/³—-7)+ C

^J yx    ^J    1

2) f ——— = f x⁰(l+x*)-^l'*dx.

^J VTT* ^J

Tym razem m = 0, n = 4, p = ——. Trzeci przypadek całkowalności, ponieważ--h?

4    n

~    ~ = 0. Tutaj v = 4. Podstawmy

t = Vx-*+\ -    x-(i⁴-!)-«♦,    --f^a(f⁴-l)-*'\fr,

x

a więc

V'l+X⁴ — /X - / (/*—1)-^|/4,

itd.

)/\+x*