50734 P1111276

58 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

zbadać przypadek, gdy również 4q'— p'¹ > 0. Wówczas q > 0, q' > 0 i 4|/qq' > pjf i mamy po kolei (*)

P (fl+flO-pp']² ^ Vqq^r-pp'¥ =

= (4q -p²) (4q'-p'²) -f 4 (p }/q' -p' \'q )² > (4q - p²) (4q' - p’²) .

Tutaj dwa razy występuje znak nierówności słabej, ale równość nie może mieć miejsca w obu wypadkach jednocześnie: jeśli q ^ q\ to równość na pewno nie zachodzi w pierwszym przypadku, jeśli zaś q = q\ to na pewno nie zachodzi w drugim. Tak więc nierówność (14*), a wraz z nią (14), została udowodniona.

Wykonując podstawienie, przekształcimy całkę do postaci

gdzie P (/) jest wielomianem stopnia Sm-1, a A > 0. Stosując znowu (dla m > 1) rozkład ułamka właściwego

P(t)

pf

na ułamki proste dojdziemy do sumy całek postaci

(Je = 1, 2,..., m) .

W szczególnym przypadku, gdy p = p\ redukcję wyrażeń stopnia pierwszego osiągamy jeszcze prościej — przez podstawienie x = t—pjl, i bezpośrednio dochodzimy do całki

o wskazanej przed chwilą postaci.

Otrzymana całka rozkłada się w sposób naturalny na dwie:

Pierwszą z nich można łatwo obliczyć stosując podstawienie u = ]/at²+p. Do drugiej można zastosować znane nam już podstawienie A bela

^U “ at²+p '

Na mocy (11) mamy

dl

du

a—u² *

(') Ponieważ

oprócz tego, jak łatwo obliczyć, jest

t*+i -    .

a (a—u²)

Dlatego

f_dt____m f (g-M^y-¹ _A

J (f²+*)■/at*+0    J [(^—aA) u²+Aa²]" “

i szukana całka sprowadza się do całki z funkcji wymiernej.

Uwaga. Oprócz tego, że w ustępie tym podaliśmy wiele nowych sposobów obliczania całek typu (4), przeprowadzone rozumowania stanowią nowy dowód twierdzenia sformułowanego na końcu ustępu 281, niezależny od poprzedniego.

m

dx.

285. Przykłady x*—x+l Tjp+l7+2 Przyjmujemy

i

*¹--x+l

dx = (ax²+bx+c) Yx²+2x+2 +d J•

dx

}/x²+2x+2 (2ax+b) (jc²-ł-2x+2)-ł-(flx^J+óz+c) (x+ !)+</.

^x²+2x+2

skąd

*¹-x+l Z układu równań

3a «« 1,    5a+2b = 0, 4a+3Hc =

otrzymujemy następujące wartości współczynników: a » y

względnimy przykład 5) z 283, otrzymamy ostatecznie

f    -i-(2x²-5;c+l) }/x²+2x+2 + 4ln(x+l + tf?+2x+2) +C

^J Yx²+2x+2    ^6    2

2b+c+d = 1

T • C

-l, d - 4. Jeśli więc u-

2) f.......■

(*—l)¹ ]/x^l—2x—\

Podstawienie x— 1 — l/t (jeśli, powiedzmy, x> 1 i / >0) sprowadza całkę do postaci

_ ę tik

J VT=2i* '

Całkę tę łatwo obliczyć środkami elementarnymi [patrz. 283,4)].

Odpowiedź:

—arc sin t yT +c 4 y2

1

4 (*-!)»

ł/.v¹—lar— 1

■i ^ ■ arc sin -f C. 4    *~^l

1

f-^dx.......— .

⁷ J (2x²-x+2y² Podstawienie Abela

t mm    4JC— 1

2^1**-*+2