0014

16

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę

J f(x)dx.

W wielu przypadkach udaje się wybrać jako nową zmienną taką funkcję t = © (x) zmiennej x, żeby wyrażenie podcałkowe mogło być napisane w postaci

/(*) dx — g (m (x)) ©'(*) dx,

gdzie g (r) jest funkcją łatwiejszą do scałkowania niż /00. Wtedy na mocy poprzedniego wystarczy znaleźć całkę

Jg(t)dt = G (t)+C,

aby przez podstawienie t = a> 00 otrzymać z niej całkę szukaną. Zwykle piszemy po prostu

f f o0 dx = fg(t)dł,

rozumiejąc przez to, że w funkcji zmiennej t, wyrażonej całką stojącą po prawej stronie, wykonano już wspomniane podstawienie.

Obliczmy na przykład całkę

J sin³ x cos x dx .

Ponieważ d sin x = cos x dx, więc podstawiając t = sin x przekształcimy wyrażenie podcałkowe do postaci

sin³ x cos x dx = sin³ x dsin x = t³ dt.

Całka ostatniego wyrażenia może być obliczona z łatwością:

Pozostaje tylko powrócić do zmiennej x podstawiając sin x zamiast t

f sin³ x cos x dx

sin⁴x

~r~

+c.

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że przy wyborze podstawienia t = © (x) upraszczającego wyrażenie podcałkowe trzeba pamiętać, że w jego skład musi wejść czynnik ©'(x) dx dający różniczkę nowej zmiennej, dt [patrz (1)]. W poprzednim przykładzie podstawienie t = sin x było dogodne dzięki obecności czynnika cos xdx = dt.

W związku z tym interesujący jest przykład

j sin³ x dx .

Tu podstawienie t = sin x nie mogłoby być zastosowane właśnie ze względu na brak wspomnianego czynnika. Jeśli spróbować wyodrębnić z wyrażenia podcałkowego jako różniczkę nowej zmiennej czynnik sin x dx lub jeszcze lepiej, —sin x dx, to doprowadzi to do podstawienia t = cos x. Ponieważ wyrażenie, które pozostało,

— sin² x = cos² x — 1