0028

30

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zgodnie z twierdzeniem Bezouta Q_t(a) / 0 jako niepodzielne przez x—a. Przy takim wyborze A wielomian P_t będzie określony po prostu jako iloraz.

2° Niech teraz x²+px+q będzie jakimś czynnikiem stopnia drugiego występującym w rozkładzie mianownika z wykładnikiem m > 1. W tym przypadku można przyjąć

G(x) = (x² + px + q)^mQ,(x) ,

gdzie wielomian nie dzieli się przez trójmian x² +px+q. Wówczas dany ułamek właściwy

P(x)    P(x)

ew    (x*+_Px+qrQ_l(x)

może być przedstawiony w postaci sumy ułamków właściwych

Mx + N    P_t(jc)__

(x²+px + q)^{m +} (x²+px~+q)^m~'Q_l(x) ’

z których pierwszy jest już ułamkiem prostym, a drugi zawiera znów w mianowniku wspomniany trójmian, ale w niższej potędze.

Dla dowodu wystarcza dobrać liczby M, N i wielomian Pi(x) tak, by zachodziła tożsamość

P(x)-(Mx+N) Q_t(x) = (x²+px+q) P_t(xj .

Określmy M i N tak, by tym razem lewa strona dzieliła się przez trójmian kwadratowy x² + px+q. Niech av+/t i yx+ó będą odpowiednimi resztami z dzielenia P i Q_t przez ten trójmian. Wówczas zagadnienie sprowadzi się do tego, by wyrażenie

<xx+fi—(Mx + N)(yx + S) = - yMx²+(oc—SM—yN) x ¥(P~SN)

dzieliło się przez x²+px+q. Wykonując dzielenie otrzymujemy resztę

[(py—$)M—yAT+a] x+[qyM—ÓN+ff] .

Musimy przyrównać do zera oba te współczynniki i w ten sposób otrzymamy dla wyznaczenia M i N układ dwóch równań liniowych o wyznaczniku

d² — pyd + qy²

py-5 -y qy -6

różnym od zera. Rzeczywiście dla y # 0 wyznacznik ten można napisać w postaci

'[HM-tH-

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wartością trójmianu x²+px+q w punkcie x — —S/y, nie może więc być zerem, bowiem trójmian ten nie ma pierwiastków rzeczywistych. Dla y = 0 wyznacznik sprowadzi się do S², a w tym przypadku z góry można powiedzieć, że d nie jest zerem, gdyż wielomian Q_t nie dzieli się przez x²+px+q.