0074

76

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

i k = \/h²—h'²lh. Wyczerpaliśmy przez to wszystkie możliwe przypadki, gdyby bowiem było A — — 1 i m > 0, m' >0, pierwiastek nie mógłby w ogóle mieć wartości rzeczywistych. Nie mówiliśmy nic o czynniku Ri(t²), gdyż we wszystkich przypadkach przekształcał się on oczywiście w funkcję wymierną zmiennej z².

Zauważmy jeszcze, że rozpatrując całkę (8) możemy poprzestać na wartościach z < 1; przypadek z > \jk sprowadza się do poprzedniego przez podstawienie kz = l/£, gdzie

t < 1.

293. Całki eliptyczne pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju. Pozostają teraz do zbadania najprostsze z całek postaci (8), do których można sprowadzić wszystkie pozostałe całki tej postaci, a więc ostatecznie wszystkie w ogóle całki eliptyczne.

Wydzielmy z funkcji wymiernej R (x) występującej w wyrażeniu podcałkowym (8) część całkowitą P (x), a ułamek właściwy rozłóżmy na ułamki proste. Jeśli nie połączymy pierwiastków zespolonych sprzężonych mianownika (jak to robiliśmy w 274), lecz będziemy je rozpatrywali oddzielnie, podobnie jak pierwiastki rzeczywiste, to R(x) można przedstawić w postaci sumy pomnożonych przez współczynniki liczbowe potęg jc" (n = 0,1,2,...) i ułamków postaci l/(x—o)" (m = 1,2,3,...), gdzie a może być także liczbą zespoloną. Jasne jest stąd, że całka (8) jest w wypadku ogólnym kombinacją liniową całek:

I_H = f    *'^dz    (n = 0,1,2,...),

J ^(l-z²)(l-*²z²)

dz

jj _ r__

" J (z² — a)^m i/(l —

(z² - a)" v/(l-z²)(l-k² z²)

(m = 1,2, ...) .

Zatrzymajmy się na całkach /„. Jeśli scałkujemy łatwą do sprawdzenia tożsamość [z²"—³y/(l—z²)(l—k²z²) ]' =

= (2n — 3) z²"-V(l-z²)(l-/c²z²) +2²-³ -_/^^Z3~⁽,f⁺.¹2⁾" - =

y(l—z²)(l-k²z²)

_ (2n -1) k² z²" ~(2/i -2) (k² +1) z²"-² + (2n - 3) z²"-⁴ y/(l-z²)(l—fc²r²)

to otrzymamy redukcyjną zależność

(9)    (2n—1) k² (2n—2) (k² + l) /*—j. -h(2« — 3) ł_n-₂ = z²"-³ v/(l-z²)(l-k²z²),

wiążącą trzy kolejne całki /,. Przyjmując tu n — 2, wyrazimy I₂ przez 7₀ i Ą; jeśli wziąć n — 3 i zamiast I₂ podstawić jej wyrażenie przez 7₀ i Ą, to również 7₃ wyrazi się przez te całki. Kontynuując w ten sposób, łatwo przekonamy się, że każda z całek 7" (n ^2) wyraża się przez 7₀ i 7₁₍ a uwzględniając (9) można nawet wyprowadzić wiążący je wzór

7, = a„ Io + fin 1 + 92,-3 (z) 1^(1^— z²) (1^— k²z²), gdzie a„ i P„ są stałe, a <7_2n-3 (z) jest wielomianem nieparzystym stopnia 2n-3. Oczy-