0070

0070



72


VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Całki z wyrażeń postaci (4) nazywają się całkami eliptycznymi (w związku z tym, że po raz pierwszy zetknięto się z nimi przy obliczaniu długości elipsy [331,8]). Zresztą nazwa ta w ścisłym sensie dotyczy zwykle tylko tych spośród omawianych całek, których nie można obliczyć w postaci skończonej, natomiast inne, w rodzaju podanych przed chwilą, nazywają się pseudoeliptyczne.

Badanie i układanie tablic wartości całek wyrażeń (4) przy dowolnych współczynnikach a,b,c, ...jest, rzecz jasna, kłopotliwe. Dlatego naturalne jest dążenie do sprowadzenia wszystkich tych całek do kilku takich, w których występowałoby możliwie jak najmniej dowolnych współczynników (parametrów).

Można to osiągnąć za pomocą elementarnych przekształceń, które rozpatrzymy w następnych ustępach.

291. Przekształcenia pomocnicze. 1° Zauważmy przede wszystkim, że wystarczy ograniczyć się do przypadku, gdy pod pierwiastkiem jest wielomian stopnia 4, gdyż do niego łatwo jest sprowadzić przypadek, gdy pod pierwiastkiem jest wielomian trzeciego stopnia. Istotnie, wielomian trzeciego stopnia ax3 + bx2+cx+do współczynnikach rzeczywistych musi mieć pierwiastek rzeczywisty [81], powiedzmy A, można go więc rozłożyć na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych

ax3 + bx2+cx+d = a (x —A)(x2+px+q) .

Sprowadzenie do żądanej postaci osiągamy przez podstawienie x^X = t2 (lub x-X = —t2) JR(x,l/ax3+ ...)dx =J R(t2+A, t]/at*+ ...)2tdt.

Będziemy dalej rozpatrywali tylko różniczki zawierające pierwiastek wielomianu czwartego stopnia.

2° Na mocy znanego twierdzenia algebry, wielomian czwartego stopnia o współczynnikach rzeczywistych może być przedstawiony w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych:

(5)    ax?+bx3+cx2+dx+e = a (x2+px+q)(x2+p'x +q') .

Postaramy się teraz — za pomocą odpowiednio dobranego podstawienia — zlikwidować wyrażenia stopnia pierwszego jednocześnie w obu trójmianach. Spotkaliśmy się już z podobnym zadaniem w ustępie 284, III (b).

Jeśli p = p', to cel nasz może być osiągnięty przez proste podstawienie x = t-~p. Niech więc teraz p ¥= p’", w tym przypadku skorzystamy, jak wyżej, z podstawienia

Możliwość znalezienia rzeczywistych i przy tym różnych wartości dla współczynników p i v jest uwarunkowana, jak widzieliśmy, spełnieniem nierówności

(6)


(q-q')2-(p-p') (p'q -pq') > o.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
74 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ma więc postać R2(t2) t i1). Rozpatrywaną całkę może
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
26 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Otrzymany wzór sprowadza obliczenie całki S„+i do
30 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zgodnie z
56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki dx / (ax2 +
68 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Do tej całki sprowadza się również następująca:/
P1111262 30 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zg
P1111260 26 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Otrzymany wzór sprowadza obliczenie całki /
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax

więcej podobnych podstron