0070

72

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Całki z wyrażeń postaci (4) nazywają się całkami eliptycznymi (w związku z tym, że po raz pierwszy zetknięto się z nimi przy obliczaniu długości elipsy [331,8]). Zresztą nazwa ta w ścisłym sensie dotyczy zwykle tylko tych spośród omawianych całek, których nie można obliczyć w postaci skończonej, natomiast inne, w rodzaju podanych przed chwilą, nazywają się pseudoeliptyczne.

Badanie i układanie tablic wartości całek wyrażeń (4) przy dowolnych współczynnikach a,b,c, ...jest, rzecz jasna, kłopotliwe. Dlatego naturalne jest dążenie do sprowadzenia wszystkich tych całek do kilku takich, w których występowałoby możliwie jak najmniej dowolnych współczynników (parametrów).

Można to osiągnąć za pomocą elementarnych przekształceń, które rozpatrzymy w następnych ustępach.

291. Przekształcenia pomocnicze. 1° Zauważmy przede wszystkim, że wystarczy ograniczyć się do przypadku, gdy pod pierwiastkiem jest wielomian stopnia 4, gdyż do niego łatwo jest sprowadzić przypadek, gdy pod pierwiastkiem jest wielomian trzeciego stopnia. Istotnie, wielomian trzeciego stopnia ax³ + bx²+cx+do współczynnikach rzeczywistych musi mieć pierwiastek rzeczywisty [81], powiedzmy A, można go więc rozłożyć na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych

ax³ + bx²+cx+d = a (x —A)(x²+px+q) .

Sprowadzenie do żądanej postaci osiągamy przez podstawienie x^X = t² (lub x-X = —t²) JR(x,l/ax³+ ...)dx =J R(t²+A, t]/at*+ ...)2tdt.

Będziemy dalej rozpatrywali tylko różniczki zawierające pierwiastek wielomianu czwartego stopnia.

2° Na mocy znanego twierdzenia algebry, wielomian czwartego stopnia o współczynnikach rzeczywistych może być przedstawiony w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych:

(5)    ax?+bx³+cx²+dx+e = a (x²+px+q)(x²+p'x +q') .

Postaramy się teraz — za pomocą odpowiednio dobranego podstawienia — zlikwidować wyrażenia stopnia pierwszego jednocześnie w obu trójmianach. Spotkaliśmy się już z podobnym zadaniem w ustępie 284, III (b).

Jeśli p = p', to cel nasz może być osiągnięty przez proste podstawienie x = t-~p. Niech więc teraz p ¥= p’", w tym przypadku skorzystamy, jak wyżej, z podstawienia

Możliwość znalezienia rzeczywistych i przy tym różnych wartości dla współczynników p i v jest uwarunkowana, jak widzieliśmy, spełnieniem nierówności

(6)

(q-q')²-(p-p') (p'q -pq') > o.