0072

74

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

ma więc postać R₂(t²) t i¹). Rozpatrywaną całkę możemy przedstawić jako sumę całek r    Ri(t²)dt_₊ r    R₂{t²)tdt

J    ]/ A(l    + mt²)(l + m't²) J )/A{\ + mt²)(\. + m't²)

Jednakże druga z    nich    sprowadza    się    od    razu przez    podstawienie    u = t² do całki ele

mentarnej

1    r    R₂(^u)    du

2    J ]/A(l+mu)(l+m'u)

którą można obliczyć w postaci skończonej. Pozostaje więc do dalszego badania tylko całka

(7)

/

Ri(t²)dt

\/A(l + mt²)(l+m't²)

292. Sprowadzenie do postaci kanonicznej. Wykażemy wreszcie, że każdą całkę typu (7)

można przedstawić w postaci

(8)

/

R (z²) dz

j/(l — z²) (1 —k²z²)

gdzie k jest pewną liczbą dodatnią mniejszą od jedności, 0 < k < 1. Tę postać całki nazywamy postacią kanoniczną.

Przyjmijmy krótko

y = j//t(l + mt²)(l + m'f²) .

Nie zmniejszając ogólności możemy tutaj uważać, że A = ±1. Ponadto ograniczymy się, dla ustalenia uwagi, do dodatnich wartości t. Rozpatrzymy teraz różne możliwe kombinacje znaków A, m, m' i w każdym przypadku wskażemy podstawienie sprowadzające bezpośrednio całkę (7) do postaci kanonicznej.

1) A = +1, m = —h², m' = —h'² (h > h’>0). Na to, by pierwiastek miał wartości rzeczywiste, potrzeba, by t < lub t >    . Podstawiamy

ht = z, gdzie 0 < z < 1,

lub

z >

h_

h' '

Wówczas

*]/<>-

za k należy tu więc przyjąć h'jh.

C) Porównaj uwagę w podobnej sprawie w ustępie 286.