79003 P1111265

36 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Tak więc szukana całka jest równa

4jc¹4-4x^s+16x¹ + 12x+8

/

(jr+D^+J)²

dx = i

x²-x+4

.^-ł-j^+Ar+l    ' " J ¹² +

x²—x+4

-+3 f —f^x 2.

1 J x²+l +3 arc tg x+C.

x³+x²+x+l

W przykładzie tym obliczenie ostatniej całki można było łatwo wykonać od razu. W innych przy. padkach trzeba znowu rozkładać na ułamki proste. Można zresztą czynność tę połączyć z poprzednią;

277. Przykłady. Podamy dalsze przykłady całkowania funkcji wymiernych.

1) f    Rozkład na ułamki proste otrzymujemy tu poprzez nieskomplikowane prze-

J x²(l |pp)J kształcenia

1    _ (l+x²)-x² j 1___1_| (l+¹²)-x²    _    1    ₌

x²(l+x²)²    “ jc^I+jc²)² "    jc²(1+x²)    (1+¹²)^2    12(l+x²)    (ł+x²)²

1

1

1 -f x² (1 +x²)²

Odpowiedź: -J-J- _1+x

^X T~\^1XCtgJC+c1

iii®

4x²+4x-U

(2x-l)(2x+3)(2x-5)

• dx.

Mamy

4x²+4x-11

±_x2+±_x--± 2^2 8

— +

-z- +

(2¹-l)(2¹+3)(2¹-5)    (j:— y)(¹+ j)(^1_ y)    \    ¹+y ¹-f ’

skąd wynika tożsamość

łf+iS-l (¹+ BI ^+b(^x- HI +^c (¹- iM¹+11

Zamiast przyrównywać współczynniki przy jednakowych potęgach ¹ w obu stronach równości, moż-! na postąpić inaczej. Podstawmy w tej tożsamości kolejno x =    ~~. Otrzymujemy od razu i

A r= -L _t b =¹ ——, C «=    , przy każdym bowiem podstawieniu z prawej strony pozostaje tylko jedeni

składnik.

Odpowiedź: -^In Jx— -^-j —|¹:t^ 2'j"¹' "s    \j la^ p g"

3) I ^

+ CV)i

(2x-l)²(2x-5)³

2x+3

x¹+l Ponieważ

**+1 |j(x⁴+2x²+l)—2x² Ę(x²+l)²-(x\/2)² = (x²+x\/2+l)(x²-x\/2+l) , przeto szukamy rozkładu w postaci

**+¹    x²+x/2+l    x²-x]/2+l

1 ~{Ax+B)(x²-xfó+\)+i.Cx+D)(x²+x}/2+\)

1    __ Ax+B _ ₊ Cx+D

Z tożsamości

A+C it 0,

x*

skąd

otrzymujemy układ równań

- ^2A+B+ V*C+D = 0, A- yĘB+C+ ]/2D - 0, B+D = 1,

Tak więc

**

x°

B = D -

2 '

/

dx

x*+l

i r x+vT

2}/2 ^ x*+a:}/2+1

1_ _ln x²-ł-xj/2+l 41/2 J^-AryT+l

dx— •

■J

t—yT

2|/2 ^J x*-xyT+i

-dx <

+

2 >/2*

arctg (*yT+i)+

2|/2

arctg(x|/2-l)+C.

Korzystając ze wzoru na sumę arkus tangensów [50] można wynik ten napisać w postaci

—L_ln jŁ±łV*_+K. | —arctg    +C

4y2    x*-x)/2+l    2]/2    1-*^

Trzeba zauważyć jednak, że wyrażenie to ma sens tylko dla przedziałów (— co, —1), (—1,1), (1, +oo) z osobna wziętych, gdyż w punktach x ■= ±1 traci ono sens. Stała C będzie dla tych przedziałów równa odpowiednio

c--£=-, c, c+ * - .

2 ]/2    2y2

Skokowa zmiana stałej kompensuje nieciągłość samej funkcji w punktach x = ±1.

f 2x*—4x³+24;c^a—40S+20 , (x—l) (x^a—2x+2)³

Uciekniemy się do wydzielania części wymiernej całki. Mamy

Qi - (*^a-2x+2)^a, Q₂ - (x-l) (x*-2x+2),

tak więc

2jc*—4x³+24x² —40*+20 _ f ax³+bx²+cx+d V . e    fx+g

(x-l)(x²-2x+2)ⁱ    " L (*²-2x+2)^a J x~l ⁺ x*-2x+2 *

przy czym od razu już rozkładamy na ułamki proste to wyrażenie, które podlega jeszcze całkowaniu po wydzieleniu części wymiernej całki.

Tożsamość

2x*-4x*+24x²-40x+20*=‘Qax²+2bx+c)(x²-2x+2Hx-l)-(fixⁱ+bx*+cx+d)'2{2x-2)(x-l)+ +e (x*-2x+2)*+(.fx+g) (*-l) (x*+2x+2)^a prowadzi do układu równań

X⁴

x^s

x^a

X¹

x°

e+f~ 0,

—a—6e—5f+g — 0, -a-2b+lte+\2f-5g - 2, 8u+2ó-3c-32e-16/+12p« -4, -6a+4b+5c-4d+36e+12f-\6g -[24, —4Ó+8J—24e—4/+12p — -40, —2c—4d+$e—4g — 20,

skąd

n-2,    ó-6. c — 8. d — —9,    «- 2,    /--2,    p-4.

1

Stała C różni się oczywiście od stałej Co — | In 2.