P1111262

30 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zgodnie z twierdzeniem Bezouta Q_t(a) # 0 jako 1 niepodzielne przez x—a. Przy takim wyborze A wielomian Pi będzie określony po prostu jako iloraz.

2° Niech teraz x²+px+q będzie jakimś czynnikiem stopnia drugiego występującymi w rozkładzie mianownika z wykładnikiem m > 1. W tym przypadku można przyjąć

Q(x) = (x²+px+q)^mQ,(x),

gdzie wielomian Q_x nie dzieli się przez trójmian x² +px+q. Wówczas dany ułamek właściwy ■:]

P(x)    P(x)

Q(x)    (x²+px+q)^mQ_x(x)

może być przedstawiony w postaci sumy ułamków właściwych

Mx+N    P_x(x)_

(x²+px+q)ⁿ + (x²+px+q)^m~^xQ_l(x) *

- których pierwszy jest już ułamkiem prostym, a drugi zawiera znów w mianowniku wspomniany , trójmian, ale w niższej potędze.

Dla dowodu wystarcza dobrać liczby M, N i wielomian Pi(x) tak, by zachodziła toż- j samość

P(x)-(Mx+N) Qi(x) = (x²+px+q) P₁(x) .

Określmy M i N tak, by tym razem lewa strona dzieliła się przez trójmian kwadratowy < x²+px+q. Niech ax+/? i yx+d będą odpowiednimi resztami z dzielenia P i Qi przez , ten trójmian. Wówczas zagadnienie sprowadzi się do tego, by wyrażenie

ax+p-(Mx+N)(yx+8) = —yMx²+(a—SM—yN) x+(p—SN)

dzieliło się przez x² +px+q. Wykonując dzielenie otrzymujemy resztę

[(py—Ó)M—yN+a] x+[qyM—ÓN+fl .

Musimy przyrównać do zera oba te współczynniki i w ten sposób otrzymamy dla wyzna- ] czenia M i N układ dwóch równań liniowych o wyznaczniku

qy -ó\

różnym od zera. Rzeczywiście dla y # 0 wyznacznik ten można napisać w postaci

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wartością trójmianu x²+px+q w punkcie x * —ó/y, nie może więc być zerem, bowiem trójmian ten nie ma pierwiastków rzeczywistych. Dla 7*0 wyznacznik sprowadzi się do <5^ł, a w tym przypadku z góry można powiedzieć, że 6 nie jest zerem, gdyż wielomian Q_t nie dzieli się przez x² +px+q.

Po obliczeniu w taki sposób wartości M i N, możemy także i tu wyznaczyć bez trudu wielomian Pi jako iloraz.

Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia wysłowionego na początku ustępu. Dowód sprowadzi się do kilkakrotnego zastosowania twierdzeń 1° i 2°, które pozwalają kolejno wydzielać ułamki proste z danego ułamka właściwego aż do jego wyczerpania.

Jeśli czynnik x—a wchodzi w skład Q tylko w pierwszej potędze, to na mocy 1° (dla k * 1) przyporządkujemy mu jeden jedyny ułamek prosty postaci

A

x—a

W przypadku gdy wykładnik potęgi wyrażenia x—a jest równy k > 1. wydzielamy na podstawie 1° ułamek prosty

At

(x—af '

Do ułamka, który pozostanie, zastosujemy znowu twierdzenie 1° i wydzielimy ułamek prosty

Ak-i

(x-a)^k-¹

itd., dopóki czynnik x—a w ogóle nie zniknie z rozkładu mianownika. Tak więc w rozpatrywanym przypadku czynnikowi (x- a)^k (k > 1) będzie odpowiadała grupa licząca k ułamków prostych

Ai    A?    At

^v '    x—a (x—a)²    (x—aY

Zastosujemy kolejno takie samo rozumowanie do każdego z pozostałych czynników liniowych, dopóki mianownik nie zostanie wyczerpany lub w jego rozkładzie nie pozostaną same czynniki stopnia drugiego.

Analogicznie, korzystając z 2°, czynnikowi kwadratowemu x²+px+q występującemu w pierwszej potędze przyporządkujemy jeden tylko ułamek prosty postaci

Mx+N x² + px + q *

jeśli natomiast czynnik ten występuje w potędze m > 1 — grupę m ułamków prostych

Mi x+N_t    M₂x+N₂    M_mx + N_m

' '    x²+px + q    (x²+px + q)²    ***    (x²+px + qy*

To samo można zrobić z pozostałymi czynnikami kwadratowymi, jeśli takowe jeszcze są. Kończy to dowód twierdzenia.

275. Wyznaczenie współczynników. Całkowanie ułamków właściwych. Tak więc, jeśli znany jest rozkład (3), znane są tym samym mianowniki ułamków prostych, na które rozkłada się dany ułamek PJQ- Zajmiemy się wyznaczeniem liczników, tzn. współczynni-