P1111250

6 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Dowód. To, że wraz z F(x) takie F(x)+C jest funkcją pierwotną funkcji f(x), jest zupełnie oczywiste, ponieważ [F(x)+C]' = F'(x) — f(x).

Niech teraz (:r) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji /(*), wówczas w przedziale 9j jest

0 (*)=/(*).

Ponieważ funkcje F(x) i 0 (x) mają w rozpatrywanym przedziale tę samą pochodną, różnią się one o stałą [131, wniosek], zatem

0(x) - F(x)+C₂

co należało udowodnić.

Z powyższego twierdzenia wynika, że wystarczy znaleźć tylko jedną funkcję pierwotną F(x) danej funkcji f{x), aby znać wszystkie inne funkcje pierwotne, różnią się one bowiem od siebie stałym składnikiem.

Na mocy tego wyrażenie F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną, jest ogólną postacią funkcji, która ma pochodną równą/(jc) lub różniczkę f{x) dx. Wyrażenie to nazywa się całką nieoznaczoną funkcji /(*); oznacza się je symbolem

ff(x) dx,

w którym tkwi już w sposób niejawny stała dowolna. Iloczyn f (*) dx nazywa się wyrażeniem podcałkowym, a funkcja f(x) — funkcją podcałkową.

Przykład. Niech/(.r) = x² \ wówczas, jak łatwo widać, całką nieoznaczoną tej funkcji będzie JV</jc=-j-+C.

Można to łatwo sprawdzić wykonując operację odwrotną — różniczkowanie.

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że pod znakiem całki J piszemy różniczkę szukanej funkcji pierwotnej, nie zaś pochodną (w naszym przykładzie x²dx a nie x²). Historyczną genezę tego oznaczenia wyjaśnimy dalej [294]. Jest ono zresztą bardzo wygodne i zachowanie go jest celowe.

Z definicji całki nieoznaczonej wynikają bezpośrednio następujące jej własności:

1.    diftx)dx-fWdx.

tj. znaki d i J redukują się wzajemnie, gdy pierwszy umieszczamy przed drugim.

2.    Ponieważ F{x) jest funkcją pierwotną funkcji F'(x), więc

f F\x)dx = F(x)+C,

co można napisać tak :

(dFit)- F(x)+C.

Widzimy stąd, że znaki d i J stojące przed F (x) redukują się również wtedy, gdy d znajduje się po J, ale wówczas do F (x) należy dodać stalą dowolną.

Powracając do tego zadania z mechaniki, które postawiliśmy na początku, możemy teraz napisać

p « j a (t) dt i s = j v (0 dt.

Załóżmy na przykład, że rozpatrujemy ruch jednostajnie przyśpieszony odbywający się pod działaniem siły ciężkości, wówczas a = g (jeśli za dodatni uważać kierunek pionowy z góry w dół) i jak łatwo zauważyć

v = J g dt = gt+C .

Otrzymaliśmy wzór na prędkość t>, do którego oprócz czasu t wchodzi jeszcze stała C. Przy różnych wartościach C będziemy otrzymywali różne wartości prędkości dla tej samej chwili t_y tak więc nasze dane nie wystarczają do całkowitego rozwiązania zadania. Aby otrzymać zupełnie określone rozwiązanie zagadnienia, wystarczy znać prędkość w pewnej określonej chwili. Jeśli na przykład wiadomo, że w chwili t — t₀ prędkość v = v₀, to po podstawieniu tych wartości do otrzymanego wzoru na prędkość mamy

v₀ = gt₀ + Cy    skąd C = v₀-gt₀.

Teraz nasze rozwiązanie otrzymuje już w pełni określoną postać

v = g(t-t₀)+v ₀.

Znajdziemy następnie wzór na drogę s. Mamy

s4m ~    ⁺ v°]^dt “ T 9 (t- t_oy+v₀(t -1₀)

+ C'

Rys. I

Łatwo jest sprawdzć różniczkowaniem, że funkcję pierwotną można wziąć w takiej postaci. Nieznaną nową stałą C' można wyznaczyć, jeśli na przykład dana jest droga $ = s₀ w chwili t = t_Q. Obliczywszy, że C' = s_Q, napiszemy rozwiązanie w ostatecznej postaci

s = y 0it-t₀)²+v₀(t-t₀)+s₀ .

Wartości t_0t s_0t v₀ nazywają się wartościami początkowymi wielkości f, j i v.

Jak wiadomo, pochodna funkcji y — F(x) daje współczynnik kątowy stycznej do wykresu tej funkcji. Zadanie znalezienia funkcji pierwotnej F(x) danej funkcji/(je) można więc interpretować w następujący sposób: trzeba znaleźć krzywą y — F(x\ dla której zachodziłoby dane prawo zmiany współczynnika kątowego stycznej:

tg«-/(x).

Jeśli y = F(x) jest jedną z tych krzywych, to wszystke pozostałe można otrzymać z ivej po prostu przez przesunięcie o dowolny odcinek C równolegle do osi y (rys. 1). Na to, by z tego zbioru krzywych wyróżnić jedną, wystarczy na przykład przyjąć punkt ( v₀, y<^, przez który krzywa ta ma przechodzić. Warunek początkowy y₀ * F(x₀) + C da nam C - y₀~F(x₀).