0004

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Dowód. To, że wraz z F(x) także F(x)+C jest funkcją pierwotną funkcji f(x), jest zupełnie oczywiste, ponieważ [F(x)+C]' = F'(x) = f(x).

Niech teraz 0 (x) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x), wówczas w przedziale % jest

0(X)=/(X).

Ponieważ funkcje F(x) i 0 (x) mają w rozpatrywanym przedziale tę samą pochodną, różnią się one o stałą [131, wniosek], zatem

0(x) = F(x) + C₂

co należało udowodnić.

Z powyższego twierdzenia wynika, że wystarczy znaleźć tylko jedną funkcję pierwotną F(jc) danej funkcji f{x), aby znać wszystkie inne funkcje pierwotne, różnią się one bowiem od siebie stałym składnikiem.

Na mocy tego wyrażenie F (x) + C, gdzie C jest stałą dowolną, jest ogólną postacią funkcji, która ma pochodną równą /(x) lub różniczkę /(*) dx. Wyrażenie to nazywa się całką nieoznaczoną funkcji /(jc) ; oznacza się je symbolem

jf(x)dx,

w którym tkwi już w sposób niejawny stała dowolna. Iloczyn /(x) dx nazywa się wyrażeniem podcałkowym, a funkcja f(x)—funkcją podcałkową.

Przykład. Niech /(.v) = x²; wówczas, jak łatwo widać, całką nieoznaczoną tej funkcji będzie

f x²dx= — + C.

^J 3

Można to łatwo sprawdzić wykonując operację odwrotną — różniczkowanie.

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że pod znakiem całki J piszemy różniczkę szukanej funkcji pierwotnej, nie zaś pochodną (w naszym przykładzie x²dx a nie x²). Historyczną genezę tego oznaczenia wyjaśnimy dalej [294], Jest ono zresztą bardzo wygodne i zachowanie go jest celowe.

Z definicji całki nieoznaczonej wynikają bezpośrednio następujące jej własności:

1. d J/(x) dx = f{x) dx,

tj. znaki d i J redukują się wzajemnie, gdy pierwszy umieszczamy przed drugim.

2. Ponieważ F (v) jest funkcją pierwotną funkcji F'(x), więc

J F'(x) dx = F (x) + C ,

co można napisać tak:

f dF(x) = F(x) + C.

Widzimy stąd, że znaki di J stojące przed F (x) redukują się również wtedy, gdy d znajduje się po J, ale wówczas do F (x) należy dodać stałą dowolną.