P1111259

24

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

(c) J arc sin x dx = a arc sin x— f x d arc sin x = x arc sin A-f- 1^1 —a* + C

x arc sin

inA-

^ y^l—xⁱ

[patrz 269,2)].

P / ** *in | dx.

Mamy

J x^ad(—cos a) = -- a*cosa— f(—cosx)dx² = — a*cos a+2 Jacos a</a.

Tak więc sprowadziliśmy szukaną całkę do znanej już [270, (4)]; podstawiając jej wartość otrzymujemy J x² sin x dx — —a*cos x+2 (x sin a+cos z)+C.

Zastosowaliśmy tu regułę całkowania przez części dwukrotnie.

Tak samo przez wielokrotne zastosowanie powyższej reguły można obliczyć całki j P (x) c‘*dx, J P (x) sin bx dx, J P (a) cos bx dx, gdzie P(x) jest wielomianem zmiennej x.

4) Jeśli skorzystamy z uogólnionego wzoru na całkowanie przez części, to można otrzymać od razu ogólne wyrażenia dla całek tego typu.

Biorąc d^m*ⁿ = «“ otrzymujemy

itd.

/■> « — a

Jeśli P(x) jest wielomianem stopnia n, to na mocy wzoru (5) otrzymujemy

JP(x) <T*dx » e*'    ~ + -£- - ...1 +C.

^J    L o fl* o* J

Analogicznie, jeśli wziąć tj"^+l* -- sin Aa, to

=r —

rz:	p"'
U^2	ó^4

sin Aa «<■-*>_.	cos Aa	itd.
A* ’	A*
+ ... I —cos Aa	P"	■
J l b	A^3
	J>"'	1 1
...J +COSOA|-j-	A^4	+ ...J

cos bx

Stąd wzór

J P (z) sin bx dx = sil W podobny sposób można wyprowadzić wzór

S) Jx*ln²xdx.

Mamy

/ In²xd±X* - jr⁴ln^aA- XJ x*dln²x - l^ln²jr- f A*ln x dx

obliczenie sprowadza się do całki 1). Ostatecznie

/ x*\n²x dx = X x⁴ln*x— X (X *«in a- -X. a⁴) + C - X (ln^aA- X )_n x+ X) + C.

Tak samo kolejno obliczamy całkę

J x*ln"A dx,

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą (k ■■£ -1), a m — 1, 2, 3,... Jeśli zastosować do tej całki wzór na całkowanie przez części, przyjmując u =* \n"x, to otrzymamy wzór redukcyjny

f x*\n"xdx — ■ 7 ;; **♦*In**— ■ — I A*ln^m_,A</a,

^    Ar+1    *+l

oa mocy którego obliczenie rozpatrywanej całki sprowadza się do obliczenia całki tej samej postaci, ale z wykładnikiem przy ln/o jeden mniejszym.

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

25

Podstawienie r = lnx sprowadza zresztą rozpatrywaną całką do postaci \i^me^ikrlvdt zbadanej jot w 3) i w 4).

6) Ciekawy przykład stanowią całki

f «"cos bx dx, ( e"sirt bx dx.

Jeśli zastosować do nich całkowanie przez części biorąc w obu przypadkach powiedzmy do v -

<= -i- to otrzymamy a

f e"cos bx dx =■ — (•*cos bx+ — f e"$in bx dx,

J    a    a J

f e“*$in bx dx ■— — e**sin bx— — f «*'cos bx dx.

J    a    a J

Tak więc każda z tych całek wyraża się przez drugą (’).

Jeśli teraz podstawimy do pierwszego wzoru wyrażenie z drugiego wzoru, to otrzymamy równanie względem pierwszej całki, z którego wynika, że

f f"cosbxdx I ^fcłi^l>x*aa»tx Ejjgfl ^J    a²+b²

Analogicznie obliczymy drugą całkę

f «"sin bx dx - °    fe&J*

J    a*+b²

7) Jako ostatni przykład zastosowania metody całkowania przez części wyprowadzimy wzór redukcyjny na obliczenie całki

Wtof    '■TZS*

Zastospjmy do niej wzór (3) przyjmując

dv= dx, a więc du — —

X .

1    2nxdx

(**+«*)■

Otrzymujemy

^J,~ (x'+a>Y ⁺²"/ (/+$)■*' *•

Tę ostatnią całkę można przekształcić w sposób następujący:

(x²+a²r    J (x² ■\ aⁱ)^ąr'

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej równości otrzymujemy

f_2?—dx= (<ti⁺*LlzsLdx - f    Ł t dx

J.

.    - Z*a²J, _¥l,

(x²+a²)*

skąd

(6)

,    __!___x _    2n- I___I_ ,

"⁺¹ Ina² (.v*+«j^ł)- 2n a² *'

O Jeśli przez całki rozumieć określone funkcje pierwotne (por. uwaga w 266], to chcąc w drugim wzorze mieć te same funkcje i co w pierwszym, musielibyśmy Ściśle rzecz biorąc dołączyć do prawej strony pewną stałą. Oczywiście zostałaby ona pochłonięta w ostatecznych wzorach przez stale C i C\