img018

FUNKCJA PIERWOTNA. CAŁKA NIEOZNACZONA

Z obu powyższych równości wyznaczamy teraz A oraz B i otrzymujemy:

a sin bx-b cos to

2 Tź > a + ł>

bsinto + acosta

A = sin bxdx = e“ B = [ e^a cos bxdx - e“

Z przykładów 2.11 i 2.12 wynikają cztery wzory, które okażą się bardzo przydatne w trakcie obliczania całek nieoznaczonych z wielu funkcji niewymiernych. Wzory te odnotowujemy w kolejnej tablicy.

TABLICA 2

J	dx . x „ ■■ = aresin — + C 2 2 \a -x a
J	1 2 2. 1/2 2 1 2 . ^Xda -x dx = —xda -x +—a aresm—+C 2 2 a
J	- lnLc + VjL + x^21 + C dL+x^2 i 1
J	ylL+x^2dx=^x-fL+x^2 +^L\Ąx+-jL+x^2 +C

IWierdzenie 2.5 (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja rzeczywista f zmiennej x ma w przedziale IaR funkcję pierwotną F (funkcja / jest więc całkowalna w sensie Newtona w tym przedziale) oraz funkcja rzeczywista <p zmiennej t owartościach wprzedziale Ima skończonąpochodną w każdym punkcie przedziału

J c R (tzn. cp:Rz> J 31 —> ę(t) e 1 oraz (peC.'(7)), to funkcja (f°qj)q’ (f°<p oznacza złożenie funkcji f i <p) jest całkowalna w sensie Newtona w przedziale J oraz

(2.13)    J [(/ °<P) ■ <P'\t)dt = ] f(ę(t))ę’(t) dt =

(«z)

=(J    =(^F(^x'>^+C)_x._f{l)=^F(^<Pi‘))^+c

Jeśli ponadto funkcja <jn jest odwracalna, to spełniona jest też równość:

(2.14)    lf(x)dx = F{x)+C = (jf(ę{tj)<p’{t)dt) ^ ^ (xef).

Uwaga 2.5

Istota wzoru (2.13) polega na tym, że jeśli w całce j f(x)dx podstawimy x = <p(t), to formalnie otrzymujemy wzór (2.13) zastępując w niej x przez <p(f), dx zaś przez różniczkę dq(t) = q'(t)dt.

Wzór (2.13) sprowadza poza tym wyznaczenie całki nieoznaczonej funkcji (/ o ę)q' w przedziale J do wyznaczenia całki nieoznaczonej funkcji/w przedziale /.

18