MATEMATYKA103

IY.CAŁKA NIEOZNACZONA

1. FUNKCJA PIERWOTNA I CAŁKA NIEOZNACZONA.

FUNKCJA PIERWOTNA Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, gdy pochodna F' jest równa funkcji f na tym przedziale:

<1.1)    F'(x) = f(x), x € X.

Gdy X jest przedziałem domkniętym X =<a,b >lub jednostronnie domkniętym X=<a,b), X = (a.b>, to przez pochodną F'(x) w punktach a i b należy' rozumieć pochodną jednostronną F+(a) i FI(b).

PRZYKŁAD W

a)    Funkcją pierwotną funkcji f(x) = sinx na zbiorze R jest ftinkcja F,(x)=-cosx, gdyż (-cosx)' = sin x, xeR. Funkcje F₂(x) = -cosx +1. Fj(x) = ~cosx + 5 są również funkcjami pierwotnymi funkcji sinx. Każda funkcja postaci F(x) =-cosx+ C, gdzie C = const, jest funkcją pierwotną ftinkcji f(x) - sin x na zbiorze R

b)    Funkcją pierwotną funkcji f(x) = l/x na przedziale X=(0,oo) jest każda funkcja postaci F(x) = ln x -ł-C, C = const, ponieważ (ln x + C)' = l/x dla x e(0,x)

c) Funkcją pierwotną funkcji f(x)=>/x na przedziale X=<0,oo) jest każda funkcja postaci F(x) = 2x>/x/3 + C, C = const, ponieważ.

(2xVx/3+cy = (| x^V2+cy=Jx.    m

Jest więc zrozumiałe, że

1)    Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f. to każda funkcja postaci F + C, gdzie C - const, jest również jej funkcją pierwotną.

Ponadto z rachunku różniczkowego wiemy, że funkcje mające równe pochodne na pewnym przedziale - różnią się o stalą na tym przedziale Funkcje pierwotne G i F tej samej funkcji f mają równe pochodne G' = F' = f. Dlatego

2)    Jeśli G i F są funkcjami pierwotnymi na pewnym przedziale tej samej funkcji, to G = F + C na tym przedziale, gdzie C jest stałą stosownie dobraną do funkcji G i F.

Mamy zatem następujące

TWIERDZENIE 1.1 Jeżeli F jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, C - dowolną stalą, to wszystkie funkcje postaci

F(x) + C, xeX

i tylko takie funkcje, są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale X

CAŁKA NIEOZNACZONA. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale X i zapisujemy

(1.2)    Jf(x)dx = F(x) + C lub Jf(x)dx = F(x),

gdzie F oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji f, C - stalą dowolną zwaną stalą całkowania, dx - wskazuje zmienną całkowania

(Drugi zapis w (1.2) czytamy; całka Jf(x)dx jest rówua funkcji F(x) z dokładnością do stałej C).

PRZYKŁAD 1.2 Zgodnie z definicją całki nieoznaczonej

mamy;

a)Jsinxdx - -cosx+C dla xeR, gdyż (-cosx+C)' = sinx,