71272 MATEMATYKA119

228 [V. Całka nieoznaczona

228 [V. Całka nieoznaczona

x»a(2x-2)+P a ■ j. P ■ I

-dx

= 1 f-_rdL^_dx> U-!-

^2JVx²-2x-7    ^jV(x-1)^j-8

= >f\^:-2x- 7 + ln|x- 1 i Vx^:-2x -7|+C.

D Dowodzi się, że dla całek postaci

W_A(x)

1.7.

*dx

vax*+b\4-c

gdzie W_n(x) jest wielomianem stopnia n £ 1, prawdziwy jest wzór

(4 ?) f .    ~dx=W„_|(x)Tax^;+bx+c i k f-|r—

vax 4-bx4-c    vax 4 bx+c

w którym W_n_,(x) oznacza wielomian stopnia n - I, zaś k - pewną stalą Całka po prawej stronic jest nam już znana Nieznane współczynniki wielomianu W_n ,(x) i stałą k wyznacza się metodą współczynników nieoznaczonych.

PRZYKŁAD 4.4 Stosując metodę współczynników nieoznaczonych obliczymy całki:

dx

h.

2 4x-x*

a)f .    dx=A>/2~4x-x²+k

^J v2-4x-x^:

Różniczkujemy obie strony:

4x-t-3    A(~4-2x) ₊ k

V2-4x-'x*    2>/2-4x-x^: ~Jl 4x-x²

a następnie mnożymy obie strony otrzymanej równości przez >j2-4x x² i mamy

4x4-3* A(-2-x) + k.

Stąd wynika, że A = -4, k = -5.

Obliczamy całkę

f I —^C^^X —= { przykład 4.2 a) } = f ->——= aresin *4-^ .

^J v2- 4x-x²    J -^6-(x4-2)^{2 c} V6

Zatem

dx -4V2-4x-x² -5arcsin-^i^+C. 2-4x-x*    v6

Zauważmy, że całka ta była obliczona w przykładzie 4.3 a) inną metodą

b)[3x I0x—2ł-tZdx=(Ax² + Bx +C) V4x-x² ♦ kf ,

^; V4x-x^:    J v4x-x²

Różniczkujemy obie strony:

>Ax-x^: V4x-x²

v4x-

& j^0x"~fo.i⁷_M(2Ax»B)V4x-x² ł(Ax^ziBx+C)    » -Ji

Następnie mnożymy obie strony przez V4x-x² i porządkujemy wyrazy: 3x’ -10x² - 3x+7 - -3Ax^ł+(1OA - 2 B)x²+(6B-C)x+(2C+k).

Przyrównując teraz w'spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej x po obu stronach tej tożsamości, otrzymujemy układ czterech równań liniowych o niewiadomych A, B. C, k :

Obliczamy całkę f dx

x^ł;	-3A = 3	=> A -1,
•» x“:	10A+2B=-10	=>	B=0,
X^1:	6B-C=-3		C=3,
x°:	2C+k=7		k = L
x^2-	-(X^: 4x)«		dx

/4 (x-2)‘

*((x-2) -4)«4-(x-2)

. x-2 = aresin— c    2

Ostatecznie otrzymujemy:

V4x-:

c)jV5 + x^:dx = J    _;dx==(Ax + B)V5-hx^: +kj

J ^Lz    iZdx = (3 - x² )>A x - x² + aresin - y ²-+ C;

d.\

fe+x²

Postępując analogicznie jak w a) i b), znajdujemy: A 1/2, B = 0, k 1/2. Ostatnia całka po prawej strome jest dana wzorem (4.2).