MATEMATYKA114

21X IV Całka nieoznaczona

, f 3x-f2    3r 2x + l , I r dx -3    ,

J (X⁵+X+1)² X ” 2 J (x² + x+l)^{: X ł} 2 J (x² -» \Tip‘^a2^J ’’V¹".

gdzie

j'₌ f_2iŹi—^-Jx^a+x4l-t 1 _ fd{_ _ _i____1

J(X² + X + 1)²    l(2x + l)dx*łH| J t² r 1 x*4x + r

j» f dx f dx

J(x^!+x₊.rJ_((x i_)J+\r

X i - «l dx »dt

2f dl

'^{! +} 4

2' ' 4

^r{ stosujemy wzór (3.2) dla n=*2 i k^3/4 } =-ę -—~    ■ 2

t²-4-

4

2 t 4    _ 2t 2x+l 4    ~

Ostatecznie otrzymujemy:

_T_ 31    3    . 2x + l 2    2x41

2^,+2^{J =} 2(x²+x+ 1) ć(x²+x+l) ⁺573^arClg7J ^{+ C} =

x-4    2    2x + |

⁼ V₊x₊i)⁺yT^arc,8"7T^+c ■

CAŁKOWANIE DOWOLNYCH FUNKCJI WYMIERNYCH. Jeżeli chcemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną dowolnej funkcji wy miernej, to:

1)    przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nic jest pochodną mianow nika - i jeśli tak, to stosujemy wzór (2.3),

2)    jeśli jest to funkcja wymierna właściwa nic będąca ułamkiem prosty m i taka, że licznik mc jest pochodną mianownika, to w znany sposób (por rozdz 1) rozkładamy ją na ułamki proste i całkujemy te ułamki,

3)    gdy jest to funkcja wymierna niewłaściwa, to najpierw' dzielimy licznik przez mianownik i z częścią ułamkową ilorazu, która jest już funkcją wymierną właściwą, postępujemy jak w punkcie 1) i 2) wyżej.

PRZYKŁAD 3.6 Obliczymy całki:

, f 3x-4 a) -f—:—rdx, J jt-3x+2

^c) lr>'

3x-4    .    r x²

^b)Jó?^^dx'

dx.

,_v f x⁵+2x*-x*-x-2

i-**— ^d)I-?T“

a) Funkcja |>odcalko\va jest funkcją wymierną właściwą, ale nic jest ułamkiem prostym, bo wyróżnik trójmianu w mianowniku jest dodatni, A=l. Wobec tego rozkładamy ją na ułamki proste, po uprzednim sprowadzeniu mianownika do postaci iloczynowej:

3x-4 A R (x-lXx-2)“x-l ⁺ x-2’

stąd

3x-4sA(x-2)+B(x-l).

Współczynniki A i B wyznaczymy tzw. "metodą wartości dowolnych"; przyjmując za x w ostatniej tożsamości x - 1 i x = 2, otrzymamy A = 1, 13 = 2. Uwzględniając uzyskany rozkład, mamy:

d\

=/-^7+2j~=ln|x-J|+21n|x-2|+C.

•3x+2

x—1

dx

x-2

b) Funkcja p<xlcałkowa jest funkcją wymierną właściwą, ale me jest ułamkiem prostym Wobec tego przedstawiamy ją jako sumę ułamków prostych:

_x²    A R

(x 2)²(x + 2)²~x-2 ⁺ (x 2)²

C D

x + 2 ⁺ (x+2)²

Stąd

x²«A(x-2)(x+2)² i B(x+2)²+C(x+2)(x 2)²1 D(x-2)².

Współczynniki A, B, C. D znajdujemy stosując łącznic metodę wartości dowolnych i metodę przy równywania współczynników

x = 2:	4 = 16B		B= 1/4
x- -2:	4 = 16D		D = 1/4
X^1: x°:	0 = A +C 1 0 = -8A+4B f 8C+4DJ		A 1/8 C = - 1/8