42313 MATEMATYKA121

232 IV. Całka nieoznaczona

232 IV. Całka nieoznaczona

wsie.

~m-2żJL,m-_T2—4 -jJi— dla xe(-2,2); por. /ad I m) * V 4-x²    V4-x² V4-x²

3.    a)-^.(2x + 3)Vl + x-x² + -arcsin^i. b)|(2x*- 5x ♦ l)Vx²+2x+2 4-♦|ln(x+l+Vx²+2x+2),c)^x^4-x² + 2nrcsin*, d)\xj4 + ić ♦ 2ln(xW4 + x²), ^e)j(X-l)V2x-X² -f |nrcsin(x-1). Oy*²* |xVx²-l-|lnłx + ^x²-l |.

4. a)wsk.: — «i lub Vx²—1 = I; -aresin^ lub arc(gVx²- I, b)wsk.: ~*t;

. c)wsk.:Vx^:-2*t; •y-aretg-^-^-, d) In-- -arcsmx,

l-x

^xVl+x"x>/l-x² 'x/l-x² ~7r7 dla x€(-l,0)w(0,l); jx>r. zad I o)

5. CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TR YG ONOMETR YCZN YCH

W całym tym paragrafie będziemy rozpatrywać całki lypu jR(sinx,cosx)dx,

r cos xdx f sin2xdx ’ J 4 + sin^Jx J sin⁴x + cos⁴x

gdzie R(u, v) jest funkcją wymierną argumentów u, v. Na przykład całki ni f dx r dx f dx    rcos³xdx r sin2xdx

sinx-cosx

są takimi całkami,

A Każdą całkę postaci f R(sin x,cosx)dx można sprowadzić do całki funkcji wymiernej zmiennej t stosując tzw. podstawienie uniwersalne:

¹ J sin x’ J sin'x ’ J 2 + :

(2)

Wówczas

tgy ^{= t}'

-7i<x<n

2dt

■y = arctgt, x = 2arctgt, dx =-

1+t

oraz

(4)

smx

2t

1 + t

2 *

^1-1    A .    . ^X

cosx =-gdzie t = tg—.

1+r    2

PRZYKŁAD 5.1 Obliczymy pierwsze trzy wymienione wyżej całki

a)    j --- = {w»»y(2)-(4)>=J^77T= f^=ln|t|+C- ln|tg^|+C,

^J smx    J 2t 1+t J t    2

b) f —^<1 ^Ł {w/ory(2)-(4)}- Jf—-*)'y = jfo ^ł 4-2t'¹ +t)dt =

'sin x    ^J 2t 1+t    4^J

7<-~t ^J + 2ln|t|+~t^J) + C = ~(-ctg^J^+4ln|lg^-|-Hg²-^)+C; 4    2    2    X    2    2    2

dx

2 + sinx cosx

= { wzory (2) “(4)}- J-

1

2dl

2 +

2t 1-t² 1+t²

1+t²    1+t'

_ _? [• dl ₌ 2 r dt 2 r____dt

J 3t²+2t + l 3 J ₂ . 2    1 "3-1    , K:

^{1 f}3^lł3

(i+ ')²+² 3    9

1.

V2

3(t+n    i+3t_g^

—+C = V2arctg—h*-- +C.

B. Zastosowanie podstawienia uniwersalnego może czasami prowadzić do całki funkcji wymiernej, której obliczenie wymaga długich rachunków. Tak byłoby na przykład z dwiema ostatnimi całkami (1). Czasem zastosowanie innego podstawienia może prowadzić do całki (również funkcji wymiernej), której obliczenie będzie łatwiejsze. I tak:

Jeżeli    R(-$inx,cosx)    -R(sinx,cosx),    to    możemy    stosować

podstawienie    cosx=t,

Jeżeli    R(sinx,-cosx)~~R(sinx.cosx),    to    można    stosować

podstawienie sinx=t,

Jeżeli    R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx),    to    można    stosować

podstawienie

n n N    du

. (5) tgx = u, <x<—; x = arctgu, dx=-—

2    2    l + u“