MATEMATYKA113

IV. Całka nieoznaczona

dx, gdzie A = p⁷ 4q <0

dx+pf-

J x

x‘+px + q *'x^-ł-px+q    •» x+px+q

	7
dx	A« — <0 4
2 3 , —x+l	x^2-—x*l«(x-—)^2+~
2	[2 4 16 J
^1 4 ircl	<*>,€- ^2,arcln
" '2^7^arCt	^S V7 >/7 ^S

4x-3

+C.

C. Całki postaci

Ax + B

x"+px+q

przedstawiamy w postaci sumy dwóch znanych już całek: Ax + B . r 2x+p „r dx

gdzie 2x4-p = (x² + px+q)', zaś aip są tak dobranymi współczynnikami, aby

Ax+B = a(2x+p)+p.

PRZYKŁAD 3.4 Obliczymy całki:

6xdx 4* + l2

Wyróżnik trójmianu kwadratowego A = -32<0. Jest to całka postaci (I). Ponieważ (x^: +4x+12)' = 2x+4, więc licznik przedstawiamy w postaci

6x ■ a(2x+4)+p

Stale a i p znajdujemy porównując współczynnik przy x i x":

6 = 2a a 0-4a+p, stąd a =3 a p = -12.

Daną całkę, zgodnie z (1). przedstawiamy jako sumę dwóch całek:

J x^z + 4x +12    Jx²+4x + 12    Jx +4x + 12

jln|2x‘ -3x+2|+^J,.

Całka i, jest już obliczona w przykładzie 3.3 c). Otrzymujemy więc:

^J J^^^dx=7^ln(2xJ-^3x+2)+y7^arclg£7r^+c ■

D. Przy' obliczaniu całek ułamków prostych drugiego typu w najogólniejszej postaci

Ax4B    ₂

-dx, A = p -4q

3,

h

3. Całkowanie funkcji wymiernych

217

gdzie

Zatem

, r dx r ax    i x-»-z

^J'⁼J    ⁼1 (^2F₊"8 c 2vT^arU8i7T

1 = f_^*5_._3to(_x*₊4x₊12)-t«cig^tC. J x^J +4x + I2    v2 2v2

»Warah^*J₅£śfeM_!«r^!5

4x -3

3x-2«a(4x-3)+p

3 „ 1

^a“4*^Pe,4

dx_

3x+2

1

3 r 4x-3 i f <L\ 4J 2x²-3x + 2 ^X 4 J 2x²-3j

dx

•3x+2

(x +px + q)

wykorzystujemy cytowany już wczesnej wzór rekurencyjny:

_n-n , f dx___1__x_ 2n-J__

'    '    " J(k+x^j)ⁿ“2k(n-l)(_{k +} x²r^l 2k(iT l)^J"^{lł n}-^-

P R Z Y K Ł A D 3.5 Obliczymy całkę

i f ^3x^² J <xⁱ+x+ij^{2 K}

Wyróżnik A = -3<0. Jest to więc całka rozważanej tu postaci dla n = 2. W znany sposób przekształcamy najpierw licznik

3x+2 ■ a(2x+l)+p a -(2x+l)+i,

2 2

aby daną całkę przedstaw ić w postaci sumy dwóch całek: