48336 MATEMATYKA115

220 IV. Całka nieoznaczona

Mamy więc;

/u^^dx=/⁽*^⁺?(7W'^^⁺4(?T2j^r)dx=

I, , «, I I    1, , -.1 1 .₀ 1, ,x-2, I x -

⁼ 8 " ^x “ 4 x-2 I ^{n x + 2} 4 x+2^{+C =} S ⁿ x+2 ”2^-4^{+ C}

c)    Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki prosie, przedstawiając uprzednio w mianowniku różnicę sześcianów w poslaci iloczynu:

3x    A Bx+C

(|-x)(x² + x+l) " 1-X ⁺ X²+X + 1

Postępując jak w przykładzie poprzednim, znajdujemy A = B=I, C= -1, Mamy więc;

f-^3dx=    dx=-ln|l-xh-f ₂^{X l}—dx.

J l-x³ J l-x Jx²+x + l    Jx²+x+l

Postępując według podanej w punkcie C metody, otrzymujemy:

J

—₂^X---_t dx = ln(x² + x +1) - V3arctg“^Xr^ ■. x +x+l ci    V3

Ostatecznie:

J y^ydx = - In 11 -x |+iln(x² + x+1)- V3aretg^^-^+C.

d)    Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą Dzielimy wobec tego licznik przez mianownik

(x⁵+2x’-x²-x-2):(x^>-l) = x^J+2-^p-j

i sprowadzamy daną całkę do sumy dwóch całek

dx = J(x²+2)dx - J-^-jdx - ~ x³+2x⁺5/1 d* ⁼

°{ osUłtninuiłka jcsl obliczona w punkciec) } ^a=^X³ + 2x-^ln|l-x|+

1, . 2    2x+l _r    _

+ ^ln(x +x + I)—^-aretg- ^ +C.    ■

J

x⁵ + 2x³-x²-x-2

x'-f

Z rozważań tego paragrafu wynika, że: każdą funkcję wymierną można efektywnie scałkować, przy czym całka nieoznaczona funkcji wymiernej daje się wyrazić tylko przez wielomiany, funkcje wymierne, logarytmy funkcji wymiernych i arcus tangensy funkcji liniowych.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA. Obliczyć całki ułamków prostych

g)

3)1

dx	W\ f	5dx	df ^dx
3x-.V	^b)J	0-2x)^6’	^;J4x^2-12x+9^t
dx	elf	dx	f xdx
x^2+5’	^e J	5x^2+9 *	4x^2 + 9 ’
■ dx	hlf	dx	r(2x+3)dx
x^2-6x + 12’	^h)J	2x^2 + 3x+2 ’	J x^2 + 3x-t-4’
3xdx		dst	,.f (3x+2)dx
x^2+4x+11 ’	1 ^k>J	(x^2-2x+4)^2’	(x^2-3x+3)^2

Obliczyć całki funkcji wymiernych:

^a)J?7?^dx-    ^b)JfrT^dx’

(4-6x)dx    _e)j_dx

c

^d J 3x²-4x + 5 ’ x²-2x

+ g)J

x²+4

x-2

d\.

x‘-4x+5’ 1

x²+9 I

dx.

^h)J^-

x*+2x x²-5

dx.

>J

ofeSn-oj

x²+5 xdx

dx,

rn)J-^—;rdx, *x+2    Jx+2x-3

(x-2)dx    f (x + 2)dx

⁰⁾J2?^9'    ^P)Jl?T2^’

n)

(3-2x)dx 4x²-4x + l -2x^a~T

. *dx,

i X +X 8x² -f 8x+3

T

+4x + l

dx