img024

FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA

23. Na mocy stwierdzenia 2.2 zadane funkcje fig nie mają funkcji pierwotnych w przedziale R, gdyż obie mają nieciągłość pierwszego rodzaju w punkcie z = 0 (dlaczego?). Co więcej, odwzorowanie g nie ma funkcji pierwotnej w żadnym przedziale, do którego należą co najmniej dwie różne liczby całkowite.

2.4. -zVWz-Wź—^l— + C (z>0). 7    2z²

2 1 ₂ -

2.6. — z²+-z²+C (z > 0).

7    5

n !    1

2.8. -z³--z⁶+C    (z>0).

8    7

2.5. ^z²-^j:jVx + C (z > 0).

2.7. -xⁱ--x*+C (z > 0). 7    3

2.9. 4sinz—arcsin z + C (-1<z<1). 3

2.10. sinz+cosz+C. 2.11. -z-ctgz+C.    2.12. i(z+tgx) + C.    2.13. -i(tgz+ctgz) + C.

2.14. Niech A = Jcos² — dx oraz B = J”sin² — dx. Wówczas A + B = Jdx = z

oraz A-B - fcoszd!x=sinz. Stąd A - fcos² — dx = — (z + sinz)+C J    J o 0

JC    1

oraz fi = sin²— dx=—(z-sinz) + C. 2    2

2.15. —e^u-e*+x+e~* + C. 2.16.

25 (3V    100 (16'.    „

— +C. 2.17. zlnz-z+C.

31n-uy ln —V 5 5    5

2.18. -z² cos z + 2z sin z + 2 cos z + C (całkować dwa razy przez części).

1 1

= 1 —

2.19.    —z²arctgz-—z+—arctgz+C

2.20.    -zctgz+ln|sinz| + C.

2.21. - ^X1--ictgz+C    fg(z) = [ dx-—J—

2sin²z 2    ( J sin²z sinz

2.22. Vl+z²arctgz-ln|z+Vl+z²| + C    8(^x)⁼ J^-j- ⁼ ^ ^{+ x}

2.23.    2^Vx-Vl -zarcsin>/z j + C.

2.24.    zln(z²+l)-2z+2arctgc + C (zobacz równość w rozwiązaniu zadania 2.19).

2.25.    z(arcsinz)² + 2Vl-z² arcsinz-2z+C (całkować dwa razy przez części).

1+z    1 + z

l + z‘

24