0058

60

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

przekształca całkę następująco:

■m!

teraz można albo powtórzyć w wypadku szczególnym ogólne rachunki z 284, III (a), albo skorzystać z gotowego wzoru (12).

Odpowiedź:

64 L 4x—l 3375 \ (2*²-*+2)^,/2

1    (4*-l)»    1    (4x—l)^s 1 _c

6    (2jc²—jcH-2)³'²    160    (2*²-*+2)⁵'² J '

4)/

(s+3 )dx

ix²—x+i) y^rx*+x+i

Podstawienie

r+1

daje

_i_ i 0*^ł±<*-H)t^ł+[2;t»^,±0«+i')-l-2]f+(i'¹-t-H-l)

(Th?

Warunki 2pv+(jiĄ-v)+2 — 0 lub ju-ł-r = 0, /<k = —1 będą spełnione na przykład dla n = 1, v = = — 1. Mamy

r—1

H-l ’

dx

2dt

(H-l)¹ ’

jc+3 =

4?+2 H-l ’

x²-x+l

t²+3 (H-l)¹ ’

\/x²+x+l =

|/3/²+l

H-l

jeśli przyjąć dla ustalenia uwagi, że f+l>0, tzn. x< 1. Tak więc

f    (x+3)dx__r (8r+4) dt

J (x²-x+l)^x²+x+l    ' (/²+3)]/3/²+l ’

Otrzymana całka równa się sumie całek

tdt

-+4f-^d-L

(f² + 3)l/3/²+I ' ^J (/²+3) j/3r²+l Pierwszą całkę można, jak widać, łatwo obliczyć za pomocą podstawienia u — |/3r² -f-1 i równa się ona |/Tarc tg    ^c>‘ drugiej zastosujemy podstawienie Abela

.3/

]/3t²+l ’

które sprowadza ją do postaci

3|/T+2^2k 3 ]/T-2]/2u

+ C'.

Pozostaje tylko powrócić do zmiennej x.