P1111256

18 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Pozostaje teraz przejść do zmiennej x według wzoru t = j/*, aby otrzymać ostatecznie f--- 6 (j/x—arc tg }/x)+C.

Ciekawszy jest przykład

f /a²-x² dx.

Różnica kwadratów pod pierwiastkiem (pierwszy z nich jest stałą) nasuwa myśl o podstawieniu trygonometrycznym x — asm/(*). Mamy

j/a²—x² = a cos t, dx = a cos t dt

oraz

J }/a²—x²dx = a² Jcos² t dt.

Całkę tę już znamy:

a² Jcos² tdt — a²[j /+ -j sin 2t] + C

[267, (17Xa)]. Aby przejść do x, podstawiamy t = arc sin—; przekształcenie drugiego

składnika ułatwia się przez to, że

•j a² sin 2t — j a sin t a cos / = |x ]/a²—x².

Ostatecznie

Jj/a²-x² dx =* jxi/a²-x²+ ja² arc sin-- +C.

Umiejętność odnajdywania dogodnych podstawień zdobywa się przez ćwiczenia. Chociaż nie można dać na to ogólnych reguł, pewne uwagi szczegółowe ułatwiające odnajdywanie takich podstawień znajdzie czytelnik w następnym ustępie. W klasycznych przypadkach podstawienia będą podane po prostu w podręczniku.

269. Przykłady

I) (a) f e*ⁱxdx, (b) f , (_c) f **4* j    J l+x*    J COS²X³

(a)    Rozwiązanie. Podstawiając t — x² otrzymujemy dl » 2xdx, a więc

f**xdx»2r (ćdt -l-S+C - ±e*²+C.

/    2 *7    2    2

(b)    Wskazówka. To samo podstawienie. Odpowiedź: Ą- arctgx³+C.

W obu przypadkach całki miały postać

/p(x*)x</x - i-/p(x³)d(x*),

gdzie g jest funkcją dogodną do całkowania. Dla takich całek należy zastosować podstawienie /    x².

(') Warto zauważyć, iż przyjmujemy, że x zmienia się w przedziale (-o,«), a t w (— -j- n, -j-n). A więc •/» arc sin —.

Analogiczne całki postaci

/ 9 (**) X² dx = -y J g (x») d (x*)

mogą być obliczane przez zastosowanie podstawienia / = x^y itd. Tego typu jest właśnie trzecia całka.

(c) Odpowiedź: -ytgx*+C.

2) J(ax^a+/5)ł* xdx (fi *£ —1).

Rozwiązanie. Można przyjąć tu / = x², ale łatwiej jest od razu wziąć u = »x² +0. bowiem czynnik xdx różni się od du = 2*xdx tylko współczynnikiem liczbowym. Mamy więc

J* (ctx² +py^txdx = -y— j ifdu = ■

■ u¹¹*¹ 4- C =

2tf(/i-ł-l)    ’ ~    2a(/i+1)

3, <_a)    (b) [(c) f-f:-.

./ x    •» xlnx    xln²x

Wskazówka. Wszystkie te całki mąją postać

Jg(Inx)~ = Jg (In x)dln;

dx x

i mogą być obliczone za pomocą podstawienia / = lnx.

Odpowiedź: (a) — ln²x+C, (b)lnInx+C, (c) —e*—ł-C.

2    lnx

4) Całki postaci

gr (sin x) cos x t/x, J g (cos x) sin x dx.

f yOgJr)

dx

cos²x

oblicza się odpowiednio za pomocą podstawień

v — tg x .

/ = sin x, u = cos x,

Na przykład

(a)		r cos x	;«/x f	dt	= arc tg t+C •	- arc	tg sin x+C,
		•> l-fsin'x •'		1 + /^J
(b)	i	x dx ■>	f^sinxdx	JM _•	f — » —In 1<#l	l + C •	— — ln |cos xl
			^1 cosx	•
		r	dx		r dxlco$^2x	- I	dv
te)		' A^2 sin	^2x+B^2 cos	^2X	J A^2 tg^2x+ B^2	J	A^2v* f B^2
					1 . Av -arc tg-	+c -	- —r-arc tg 1
					AB B
5) (a) :	r 2xM			(0	rfr	(d)	f *
	^1 x^2-H	■. bj			J e^ł*+1 ^Ć		' sin x cos x

Rozwiązanie, (a) Jeśli podstawimy / ~ x^ł + !• to licznik 2xdx daje dokładnie di, całka sprowadza się do

J •—* - ln |/| + C - ln(t^a + l) ŁC.