0016

18

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Pozostaje teraz przejść do zmiennej x według wzoru t = J/J, aby otrzymać ostatecznie

C ' ip = 6 (^x-arctgfR)+C .

J yx(l + yx)

Ciekawszy jest przykład

j )I a²—x² dx.

Różnica kwadratów pod pierwiastkiem (pierwszy z nich jest stałą) nasuwa myśl o podstawieniu trygonometrycznym x = a sin / (‘)- Mamy

]/a²—x² » a cos t, dx = a cos t dt

oraz

J ^a²—x² dx = a² J cos²1 dt.

Całkę tę już znamy:

a² j cos² tdt — a²[-| t+ -^sin 21] + C

[267, (17Xa)l. Aby przejść do x, podstawiamy t = arcsin—; przekształcenie drugiego

a

składnika ułatwia się przez to, że

j a² sin 2t = y a sin t a cos t = -i-x ]/a²-x².

Ostatecznie

Ji/o²—x² dx = yx]/a²—x²+ ja² arc sin-I-C.

Umiejętność odnajdywania dogodnych podstawień zdobywa się przez ćwiczenia. Chociaż nie można dać na to ogólnych reguł, pewne uwagi szczegółowe ułatwiające odnajdywanie takich podstawień znajdzie czytelnik w następnym ustępie. W klasycznych przypadkach podstawienia będą podane po prostu w podręczniku.

269. Przykłady

I) (a) fe*¹xdx, (b)    (c) f ^X*f₃ •

J    j 1+JC⁴    J COS²*³

(a)    Rozwiązanie. Podstawiając t = x² otrzymujemy dt = 2xdx_y a więc

f e*'x dx = ± f ddt = —    = — e*^ł+C.

J    2 J    2    2

(b)    Wskazówka. To samo podstawienie. Odpowiedź: -i- arctgx² + C.

W obu przypadkach całki miały postać

/ g (X¹) x dx = -i- J g (x²) d (*²) ,

gdzie g jest funkcją dogodną do całkowania. Dla takich całek należy zastosować podstawienie t = x².

(^ł) Warto zauważyć, iż przyjmujemy, że x zmienia się w przedziale (—o, o), a / w (—~ n,

A więc-f = arcsin — .