82315

Definicja 6.14 (Całka potrójna po obszarze w ft*)

Niech f będzie funkcją ograniczoną i określoną nu obszarze ograniczonym V C oraz niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Ponadto niech funkcja fo będzie rozszerzeniem funkcji f na prostopadłościan P określonym wzorem:

Jeśli istnieje całka z funkcji f₀ po prostopadłościanie P, to całkę potrójną funkcji f po obszarze V definiujemy następująco:

SIL f(^T’^y’^z)^drdytł3: ^ S S Sr fo(*'y'^z)^dxd'J‘^lz

Mówimy wtedy, że funkcja f jest mlkowalna na V.

Definicja 6.15 (Obszar normalny w 7£³)

Niech V będzie obszarem domkniętym w przestrzeni Vf'

Zbiór D_Ty = {(x. y) € T& (z, y, z) G 1} nazwiemy rzutem V na płaszczyznę Ozy. Obszar domknięty V C jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy. jeśli D_TV- rzut V na płaszczyznę Ozy jest zbiorem regularnym i istnie ją funkcje (9, ó>) e C(D) takie, że.

' = {(*.».*) € X? ■■ (x,y) € l>„ , ę(x,y)

Analogicznie definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn Ozz i Oyz:

Obszar domknięty V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz,

jeżeli można go zapisać w postaci:

V = {(x,y,z) 6 Ti ' : (y,z) € D_ys , r(y,x) < ;/ < *(y,r)> gdzie funkcje, r, s € C(D_y;).

Obszar domknięty V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxz,

jeżeli można go zapisać w, postaci:

v = {(x,y,z) € 7?^J : (t,z) € D_st , p(x,z) ś y ś c)} gdzie funkcje p,q € C(D_XZ).

Twierdzenie 6.9 (Całka iterowana po obszarze normalnym)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym

V = {(*, #,*)€#* ■ (*, u) € T>„ , y>(x, y) i z ^ «(x, y))

lo

34