82314

6.5 Całki podwójne po obszarach normalnych

Definicja 6.11 (Całka podwójna po obszarze)

Niech f będzie funkcją ograniczoną i określoną na obszarze ograniczonym D C R^l oraz niech P będzie dowolnym prostokątem zawiemjącym obszar D. Ponadto niech funkcja /o będzie rozszerzeniem funkcji f na prostokąt P określonym wzorem:

Ux u)-i ^f^^y) dhl

j _Q (Ua (x,y) € P\D

Jeśli istnieje całka z funkcji fo po piostokącic P. to całkę podwójną funkcji f po obszarze D definiujemy następująco:

1 Su f(^x’^y}^{drdy d}~ \ J_F M^y)dxdy

Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na D.

Definicja 6.12 (obszary normalne względem osi układu)

1.    Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox. jeżeli można zapisać go w postaci:

D = {(x_; y) e Ił¹ : a ^ x s£ b. g(x) ^ y s£ /ł(.r)} gdzie funkcje g i h są ciągłe na (u,h) oraz g(x) < h(x) dla każdego x € («_: b).

2.    Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy, jeżeli można zapisać go w postaci:

D = {(*> ?/) €    : c < y ^ d, p{y) < x ^ ę(j/)}

gdzie funkcje p i q są ciągle na (c, d) oraz p(y) < q(y) dla każdego y € (c.d). Twierdzenie 6.4 (O całkowalności funkcji ciągłej na obszarze normalnym) Funkcja ciągła na obszarze normalnym, jest całkowalna po tym obszarze. Twierdzenie 6.5 (Całka po obszarze normalnym)

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

D = {(-r, y) € Tt¹ : o < .r ^ l>. g(x) ^ y ^ /i(.r)} normalnym względem osi Ot, to

IL '<*•*> •*"'* = ((C ^,h

29