3582320726

5. CAŁKI PODWÓJNE

5.1 CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKCIE

Oznaczenia w definicji całki po prostokącie:

P = {(x,y): a<x<b, c<y<d}~ prostokąt na płaszczyźnie;

P = {Pj_, P2,    P _n} - podział prostokąt P na prostokąty Pj& 1 < k < n, przy czym prostokąty podziału

całkowicie wypełniają ten prostokąt i mają parami rozłączne wnętrza;

Axi_b Ayk - wymiary prostokąta P*, 1 < k < n;

d_k = yJ{Ax_k\~ +(AyJ² - długość przekątnej prostokąta P*, 1 < k < n;

5(P) = max{djt: 1 < k < n } - średnica podziału P;

£ = {(xj, yj).(xj, yj).....gdzie    P_k, l<k< n-zbiór punktów pośrednich podziału P.

Rys 5.5.1 Podział P prostokąta P = [a,6] X [c,d\

Def. 5.1.1 (całka podwójna po prostokącie)

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P definiuj emy wzorem:

|j f(x,y)dxdy =    f (xl,yl)(Ax_k)(Ay_k)_s

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobów podziału P prostokąta P, ani od sposobów wyboru punktów pośrednich S. Mówimy wtedy że funkcja f jest całkowalna na prostokącie P.

|| f(.*,y)dP

Uwaga. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P oznaczamy też symbolem

p

Całka podwójna po prostokącie jest naturalnym uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale.

Fakt 5.1.2 (o całko walno ści funkcji ciągłych)

Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.

Tw. 5.1.3 (o liniowości całki)

Jeżeli funkcje fi g są całkowalne na prostokącie P oraz c e R, to:

a)    funkcja f+g jest całkowalna na prostokącie P oraz

||( f(x, y) + g(x, y))dxdy = || f(x, y)dxdy +1|g{x, y)dxdy .

p    pp

b)    funkcja qf jest całkowalna na prostokącie P oraz

JJcf(x,y)dYdy = c|J f(x,y)dxdy