4292417174

4 Całki podwójne

Formalnie całkę podwójną f(x, y)dxdy definiuje się jako granicę pewnej sumy po coraz mniejszych podziałach obszaru D £ R². Interpretacja geometryczna takiej całki to objętość tzw. walca uogólnionego o podstawie D i ograniczonego powierzchnią 2 = f(x, y).

W praktyce liczenie całek podwójnych polega na sprowadzeniu takiej całki do dwóch całek pojedynczych, jeśli obszar jest normalny; oraz do sprowadzenia odpowiednim podstawieniem obszaru do obszaru normalnego, jeśli normalny nie jest.

\h(x) <y< g(x) 1 a < x < b

Obszar normalny względem osi OX to obszar który daje się opisać nierównościami: Całka po takim obszarze jest równa:

JJ_Df(x,y)dxdy

|/ł(s/) S ar < a(y) |a < y < b

Obszar^- normalny względem osi OY to obszar który daje się opisać nierównościami: Całka po takim obszarze jest równa:

JJ_d f(x, y)dxdy

r>> / rg(v)    \

J. u<„, ^f^^y)dxr

Przykład:

Policzmy całkę JJ^ xydxdy gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0,0), (1,0), (1,1). Zauważmy, że obszar D można opisać: 0 <y <x, 0 < x < 1, a zatem nasza całka to:

fo (IÓ xyAy)dx=!i (^15)*: = /o¹ T^dx = tIó = 5

Przykład:

Zmieńmy kolejność całkowania w całce:    |    f(x, y)dy^ dx.

Jeśli narysujemy obszar całkowania, to widać, że (patrząc od strony osi OX) znajduje się on pomiędzy prostą y = 0, a parabolą y = x² i ”w pasku” 0 < x < 1. Spójrzmy teraz na niego od strony osi OY - tym razem górną krzywą jest x = 1, a dolną parabola. Chcemy przy tym tę parabolę zapisać w ten sposób, żeby to x był funkcją y, czyli (z uwagi na to, że x > 0) będzie to x = s/y. Widać też, że y zmienia się od zera do jedynki, zatem nasza całka to:

I‘(f f(x,y)dyjdx =    f{x,y)dx^dy

Jeśli obszar nie jest normalny, to często można sprowadzić go do normalnego odpowiednim podstawieniem. Podstawienie jest postaci x = x(u,v),y = y(u,v) i mamy:

JJ_D /(*> y)dxdy = JJ_d f(x(u, v), y(u, v))\J\dudv

gdzie D' jest nowym obszarem w zmiennych u,v, a |.7| jest modułem jakobianu, czyli wyznacznika macierzy pochodnych cząstkowych: b” ^”|.