367 (2)

=1

Przy obliczaniu całki podwójnej po obszarze OABCD trzeba było podzielić go prostą BE, równoległą do osi Ox, na dwie części.

2) Dana bryła, zawarta między sferą x²+y²-\-z² = 2z (o środku w punkcie (0,0, I)) a stożkiem A*²-f-y² = z², została przedstawiona na rys. 186. Jej objętość wynosi

V « [JJ dxdydz j| ) J dxdy f dz — Jf (z_c—z_k)dxdy

lii    H    HS °x,

gdzie: G — obszar zajmowany przez bryłę, G_xy —jego rzut na płaszczyznę xOy_t z*— dodatnia wartość z oliczona z równania stożka: z_k = \/x²+y^zy

z,— większa */. wartości z obliczona z równania sfery: z_c=l-r -r | 1 —x²—y*. Linią ograniczającą płaski obszar G_xy jest okrąg x²+y² = 1, którego równanie otrzymujemy eliminując z równań sfery i stożka zmienną z. Przechodząc do współrzędnych biegunowych, znajdujemy

J J ^²e—2_k)dxdy    J J 1-fH I—q² — o) q dtp do —

p i

Ej J dtp J (q—q²-\-q j/l —q² )(Iq =

V o

3) Paraboloida obrotowa 2z = x^z+y² i płaszczyzna y+z = 4 (równoległa do osi Ox) ograniczają bryłę, przedstawioną na rys. 187. J_ej objętość obliczamy ze wzoru (1)

| = /// dxdydz = ff dxdy f dz = ff (z₂-z,)dxdy

■ ^G    1 |g |ggi

gdzie: G — obszar zajmowany przez bryłę, G_xy — koło (y-f.I)² ^ 9 o_;

1 =

(0,-4, B)

Aby uprościć obliczanie całki podwójnej, przesuwamy początek układu współrzędnych do środka koła G_xy, czyli do punktu (0,-1), a potem przechodzimy do współrzędnych biegunowych, przy czym współrzędne x i y wyrażamy następująco: x = Qcos<p, y — — 1-r psinę¹, a iloczyn dxdy zastępujemy iloczynem Qd<pdę. Wtedy całka podwójna przyjmuje prostą postać

2.1    3

V = -J¹ f f (9—e²)ed<pdg = Y f ^d<p f    ¹

367

1

Równanie okręgu ^^J+0»+l)^ł ■¹ 9 otrzymuje się przez eliminację z z układu danych równań.