168(1)

799.    Obliczyć całkę podwójną f J , gdzie obszar D jest ograni czony:

1)    prostymi x — 2, y = x, x = 2y

2)    parabolą 2y = X¹ i prostą y = x

800.    Obliczyć całki podwójne, rozciągnięte na obszar ograniczony wskazanymi obok liniami :

1)    | I x~y dxdy; y = 0, y = j/2 ax—x^{1 2} D

2)    jf sin (x+y)dxdy; y = 0, y = x, x+y = --

D    ^L

3)    f J x²(y-x) dx dy; x = y², y = x²

D

801. Obliczyć całkę podwójną J f (2x4-3y+l)dxdy oo obszarze ogra-

Q

niczonym.trójkątem o wierzchołkach (l, 3), (—1, —1), (2, —4).

W podanych niżej całkach zmienić porządek całkowania:

-2

-1    x+{

y

802. f dy j f(x, y)dx 2 *

I 2-*2

804. I dx I gdy

o i

o yi-xi

803. I dx I udy 805. ) dy I zdx

i _i_ y

2 2

807*. f dx f dy

l Zx-x2

§ 2. Całka podwójna we współrzędnych biegunowych

Je/el"%bszar całkowania w całce podwójnej jest odniesiony do współrzędnych biegunowych <p, q i jest dzielony na obszary częściowe promieniami cp = fi = const, wychodzącymi z bieguna, i okręgami wspófśrod-kowymi {? = <?,• = const, o środku w biegunie układu (rys. 161), to wtedy dS = gdcp dq (jako pole prostokąta o bokach gdcp i do) oraz

J f f(M)ds = f jf(<p, g) odtpdo = J J F(rp, p) dtp dg

6    D    ~D

Zwykle całki podwójne we współrzędnych biegunowych wyrażają się całkami iterowanymi o postaci

P e₂(ę>)

J drp J F(<p, o) do *

w których pierwszą (.wewnętrzną) całkujemy względem q, traktując cp jako stałą, a drugą (zewnętrzną) — względem cp.

Granice całkowania względem q wyznaczają zakres zmienności q przy stałej, aczkolwiek dowolnej wartości (p. Granice całkowania względem (p są stałe i przedstawiają odpowiednio najmniejszą i największą spośród wartości <p w całym obszarze D.

Z reguły, granice całki wewnętrznej (względem q) zależą od cp. Obie granice są stałe tylko w tym przypadku, gdy obszar całkowania jest wycinkiem kołowym albo różnicą wycinków kołowych o środku w biegunie (początku) układu. Granice całki zewnętrznej (względem cp) są zawsze stałe.

Przy zastosowaniu całek podwójnych do zadań z zakresu geometrii > fizyki, zwykle wielkość poszukiwana jest wyrażona pewną całką podwójną odniesioną do współrzędnych prostokątnych, a dopiero potem .w wifelu przypadkach jest sprowadzana, w celu uproszczenia obliczeń, d? współrzędnych biegunowych. Obowiązuje przy tym następująca reguła.

Aby całkę podwójną odniesioną do współrzędnych prostokątnych przekształcić na całkę podwójną we współrzędnych biegunowych, trzeba tv wyrażeniu podcałkowym wyrazić współrzędne prostokątne przez współrzędne biegunowe, wg wzorów x = o cos<p, y — o sin<p i zamiast dxdy podstawić Qd<pdę.

22*

339

1

<

2

806. | dy j dx