obraz
6 5

147

6 18. Całki krzywoliniowe

Zadania

O

f

218. Obliczyć:

^ ( (x² +y) ds, gdzie AT jest odcinkiem prostej od punktu A(0,2) do punktu B(2, 4);

b) j y ds, gdzie AT jest lukiem paraboli y² — 2y/3x od punktu 0(0, O) do punktu >4(2, 1);

K

^ fye~^xds, gdzie K: x=ln (l + t²), y—2 arc tg t — r+3,

K

d) J xy ds, gdzie AT jest lukiem elipsy b²x²+a²y² = a²^² leżącym w pierwszej ćwiartce;

K

^ J xy ds, gdzie AT jest brzegiem kwadratu |x| + |,y|=a (a >0).

X

219.    Podać wzór na obliczanie całki fV—jf(x,y)ds, w przypadku gdy krzywa AT

x

dana jest za pomocą równania r=r(<p), ę>i^<p^ę>2 we współrzędnych biegunowych.

C ds    1

220. Obliczyć I —=-5-57? > jeżeli K jest łukiem spirali hiperbohcznej r——,

J(x²+y^zr^/a    9

221. Obliczyć:

a)    J (ax²+by²+cz²)ds, jeżeli K jest odcinkiem o początku w punkcie 0(0,0,0)

X

k i końcu w punkcie A{a,b,c);

b)    \xyzds, jeżeli K: x—t, y—^Jlt³, z=\t², 0</<l; x

e) \>Jx^l+y²+z²ds, gdzie

K:    x(t)—atcos t,    y(t)=atsint,    z(i)—ct_>

0<f<2nn (n — liczba naturalna);

V d) J (y—x)ds, jeżeli K jest krzywą zamkniętą OABCO (rys. 58), przy czym O A jest x

/—s

I odcinkiem, AB jest łukiem okręgu x²+y²=2, z=0, BC jest łukiem paraboli z=(x— I)², I y-1, CO jest odcinkiem (punkt C leży na płaszczyźnie Oyz).

222.    Obliczyć masę łuku krzywej

K: y —lnx, x_Ł<x<X2,

I jeżeli gęstość krzywej w każdym punkcie równa się kwadratowi odciętej tego punktu.

223.    Obliczyć masę krzywej

K:    x(t)=a(cosf-f f sin t), y(f)ss<j(sinf — tcost)» 0<f<2ic,

I jeżeli gęstość jej w każdym punkcie równa się kwadratowi promienia wodzącego tego • punktu.